Читать онлайн «Методические рекомендации к практическим занятиям по высшей математике. Для факультета АиВТ»

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И. М. ГУБКИНА Кафедра высшей математики Т. С. СОБОЛЕВА, Н. О. ФАСТОВЕЦ, М. Г. ГОЛИЦЫНА МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ФАКУЛЬТЕТА АиВТ I I семестр Москва 2005 УДК 51(075) C 54 Соболева Т. С. , Фастовец Н. О. , Голицына М. Г. C 54 Методические рекомендации к практическим занятиям по высшей математике. Для факультета АиВТ (2 семестр). Учебно-методическое пособие. - М. : РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, 2005. - 95с. Рецензенты: д. ф. -м. н. Баранов А. В. , к. ф. -м. н. Миллионщиков Д. В. Пособие входит в серию учебно-методических изданий по курсу высшей математики. Во второй выпуск вошли темы: «Интегральное исчисление функций одной переменной», «Кратные интегралы», «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», «Числовые и степенные ряды». В издание включен также ряд вопросов, посвященных теории поля. Пособие предназначено для студентов факультета АиВТ, а также магистрантов, аспирантов, научных работников, занимающихся исследованиями, связанными с применением математических методов. © Соболева Т. С. , Фастовец Н. О. , Голицына М. Г. , 2005 © Издательство «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, 2005 2 ЗАНЯТИЕ 1. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция F ( x ) называется ПЕРВООБРАЗНОЙ функции f ( x ) на интервале ( a; b) , если для любого x ∈ ( a; b) выполняется равенство F ′( x) = f ( x), (dF ( x) = f ( x)dx). ТЕОРЕМА. Если функция F ( x ) является первообразной функции f ( x) на (a; b) , то множество всех первообразных для f ( x) задается формулой F ( x) + C , где C − постоянная. Множество всех первообразных для f ( x) называется НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ и обозначается ∫ f ( x)dx = F ( x) + C. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1. d (∫ ) f ( x)dx = f ( x)dx, (∫ )′ f ( x)dx = f ( x). 2. ∫ dF ( x) = F ( x) + C. 3. ∫ a f ( x)dx = a ⋅ ∫ f ( x)dx, где a − постоянный множитель. 4. ∫ ( f ( x) ± g ( x)) dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx. 5. ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C ⇒ ∫ f (u )du = F (u ) + C , где u = ϕ ( x) − произвольная функция, имеющая непрерывную производную. Последнее свойство называется ИНВАРИАНТНОСТЬЮ формулы интегрирования. 3 ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ. uα +1 1. ∫ u du = α + C , (α ≠ −1); α +1 du 2. ∫ u = ln u + C; au 3. ∫ a du = + C; u ln a ∫ = + C; u u 4.