Читать онлайн «Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора и задача Коши»

Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана А. И. Лошкарев, Т. В. Облакова ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА И ЗАДАЧА КОШИ Методические указания к выполнению домашнего задания Под редакцией Г. С. Садыхова Москва Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана 2006 УДК 517 ББК 22. 16 Л81 Рецензент Л. Д. Покровский Лошкарев А. И. , Облакова Т. В. Л81 Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора и задача Коши: Методические указания / Под ред. Г. С. Садыхова – М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. – 71 с. : ил. Описан метод решения задач математической физики, осно- ванный на использовании фундаментального решения линей- ного дифференциального оператора. Даны основные сведения по обобщенным функциям, причем обобщенные функции вводят как функционалы на пространстве основных функций. Выведены формулы фунда- ментальных решений для ряда операторов, используемых при описании колебательных процессов, а также процессов тепло- проводности (диффузии) в системах с распределенными па- раметрами. Подробно рассмотрено применение метода к ре- шению задачи Коши для соответствующих типов уравнений. Рассмотрены примеры решения конкретных задач. В приложе- нии приведены варианты типового расчета. Для студентов машиностроительных специальностей, изучающих спецкурс «Уравнение математической физики». Ил. 18. Библиогр. 4 наим. УДК 517 ББК 22. 16 c МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ 1. 1. Вступительные замечания Данные указания посвящены изложению одного из методов ре- шения задач математической физики, известному как метод фунда- ментального решения. В этом методе важную роль играют так назы- ваемые сингулярные функции, используемые для описания сосре- доточенных воздействий и для интерпретации начальных и краевых условий в виде такого рода воздействий. Самый известный и простейший пример сингулярной функ- ции — дельта-функция Дирака δ (t). Самое простое определение этой функции, предложенное физиками, выглядит так: ( 0, t 6= 0, δ (t) = ∞, t = 0, Z∞ причем δ (t) dt = 1 (рис. 1. 1). Понятно, что определенный таким образом объект не являет- −∞ ся функцией с точки зрения математики, а интегральная запись Z∞ δ (t) dt = 1 не может иметь смысл классического интеграла. Но с точки зрения физики δ (t) можно легко интерпретировать как −∞ плотность единичного заряда, сосредоточенного на прямой в точ- ке t = 0.