Читать онлайн «О некоторых свойствах кривых Ван Коха»

Сибирский математический журнал Ноябрь—декабрь, 2007. Том 48, № 6 УДК 517. 518. 1+517. 518. 17 О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ КРИВЫХ ВАН КОХА С. П. Пономарев Аннотация. Изучаются свойства интегрального оператора T с ядром Коши, дей- ствующего из L∞ (€ , µ), где € — кривая Ван Коха, в пространство функций C → C. Доказано, что образ T нетривиален и содержится в пространстве AC(€ ) непре- рывных на C функций, исчезающих на ∞ и аналитических вне € . Показано так- же, что T инъективен, компактен и удовлетворяет некоторому функциональному уравнению. Полученные результаты представляют собой естественное продолже- ние наших исследований по задаче AC-устранимости квазиконформных кривых, решение которой впервые анонсировано в [1] и дополнено позже некоторыми свой- ствами кривых Ван Коха [2, 3]. В данной статье эта задача обсуждается в более общей постановке, в частности, присутствуют важные детали, отсутствующие в [1]. Сформулированы нерешенные задачи. Ключевые слова: интеграл типа Коши, кривая Ван Коха, квазиконформное отоб- ражение, AC-устранимость, псевдоаналитическое отображение, компактный опера- тор. Введение. Предварительные сведения и основные понятия Наши исследования восходят к так называемой задаче AC-устранимости квазиконформных кривых (определения см. ниже). Решение этой задачи было дано с использованием кривых Ван Коха, которые оказываются квазиконформ- ными, но не AC-устранимыми [1]. Это основная причина рассмотрения таких кривых, тем более что они определяют некоторые другие интересные (с на- шей точки зрения) функции. Кроме того, кривые Ван Коха представляются наиболее «простыми» фрактальными самоподобными кривыми с указанными свойствами. Под кривой мы понимаем гомеоморфный (или, что то же самое, инъектив- ный и непрерывный) образ замкнутого промежутка. Наша цель — исследовать свойства функций, представимых в виде инте- гралов Z f (ζ) dµ(ζ) T (f )(z) = , z ∈ C, (1) ζ −z € а также сами интегралы как линейные операторы. Всюду ниже € ⊂ C — кривая Ван Коха, µ — мера на € , µ€ < ∞, и f : € → C — существенно ограниченная µ-измеримая функция. Мы называем (1) интегралом типа Коши, хотя такой термин обычно ис- пользуется для интегралов вида Z f (ζ)dζ , (2) ζ −z C c 2007 Пономарев С. П. 1306 С. П. Пономарев но они нам не подходят. Определение 1. Пусть Š — открытое подмножество в C. Множество E ⊂ Š, замкнутое в Š, называют AC-устранимым в Š, если каждая непрерывная функция f : Š → C, аналитическая в Š \ E, будет аналитической в Š.