Читать онлайн «Необходимые и достаточные условия однозначной определенности плоских областей»

Сибирский математический журнал Май—июнь, 2008. Том 49, № 3 УДК 514. 772. 35 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПЛОСКИХ ОБЛАСТЕЙ М. В. Коробков Аннотация. Говорят, что область U ⊂ Rn однозначно определяется относительной метрикой (которая является продолжением по непрерывности внутренней метрики области на границу) своей хаусдорфовой границы, если любая область V ⊂ Rn , хаусдорфова граница которой изометрична в относительной метрике хаусдорфо- вой границе области U , сама изометрична области U (в евклидовых метриках). В работе сформулированы необходимые и достаточные условия на плоскую область, чтобы она однозначно определялась относительной метрикой своей хаусдорфовой границы. Ключевые слова: плоская область, хаусдорфова граница, относительная метри- ка, однозначная определенность. Введение Тематика, по которой выполнена работа, хотя и является сравнительно мо- лодой, но непосредственно связана также с классическими задачами, имею- щими двухсотлетнюю историю. Отправной точкой можно считать известную теорему Коши об однозначной определенности выпуклого многогранника своей разверткой. В дальнейшем проблемами однозначной определенности выпуклых поверхностей занимались Минковский, Гильберт, Вейль, Бляшке, Кон-Фоссен и другие известные математики. Но наибольших успехов в этом направлении до- бились А. Д. Александров и его ученики. Упомянем ставшую уже классической теорему А. В. Погорелова об однозначной определенности замкнутой выпуклой поверхности ее внутренней метрикой (см. , например, [1]). Дальнейшее развитие данная тематика получила после предложенного А. П. Копыловым нового подхода, позволившего существенно расширить рамки указанных проблем. В подходе А. П. Копылова изучается однозначная опре- деленность областей относительными метриками их границ, т. е. метрика на границе области определяется как продолжение по непрерывности внутренней метрики самой области. При таком подходе упомянутые вначале классические задачи являются частными случаями задач на однозначную определенность об- ластей относительными метриками их границ, а также возникает целый класс новых и очень интересных проблем, в исследовании которых в разное время принимали участие А. Д. Александров, А. В. Кузьминых, В. А. Александров, М. К. Боровикова и др. (см. , например, [2–5], а также обзорную статью [6]). Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 05–01–00482–а), гранта Фонда содействия отечественной науке для молодых кандидатов и Междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН (№ 117). c 2008 Коробков М. В. Необходимые и достаточные условия 549 В работе найдены необходимые и достаточные условия однозначной опре- деленности плоских областей относительными метриками их границ, причем в отличие от результатов большинства предыдущих работ на области не налага- ется никаких априорных условий регулярности.