Читать онлайн «Асимптотически нормальное оценивание в задаче дробно-линейной регрессии со случанйми ошибками в коэффициентах»

Сибирский математический журнал Май—июнь, 2008. Том 49, № 3 УДК 519. 237. 5 АСИМПТОТИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ В ЗАДАЧЕ ДРОБНО–ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ СО СЛУЧАЙНЫМИ ОШИБКАМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ Ю. Ю. Линке, А. И. Саханенко Аннотация. Рассмотрена задача оценивания неизвестного параметра одномерного аналога уравнения Михаэлиса — Ментен в ситуации, когда независимые перемен- ные измерены со случайными ошибками. Изучено поведение явных оценок, кото- рые были найдены авторами ранее в случае известных независимых переменных. Установлены близкие к необходимым условия, при которых наличие указанных слу- чайных ошибок не влияет на асимптотическую нормальность этих явных оценок. Ключевые слова: нелинейная регрессия, уравнение Михаэлиса — Ментен, слу- чайные ошибки в независимых переменных, асимптотически нормальные оценки. § 1. Введение 1. 1. Пусть переменные {yi }, {ai } и {bi } связаны следующими дробно- линейными соотношениями: ai yi = при θ > 0, ai > 0, bi > 0, i = 1, . . . , n, (1) 1 + bi θ при этом значение параметра θ неизвестно, а значения числовых последователь- ностей {yi }, {ai } и {bi } «известны лишь приближенно». Последнее означает, что точные значения этих величин неизвестны, однако даны наблюдения Yi , Xai , Xbi , представимые в следующем виде: Yi = yi + yi , Xai = ai + ai , Xbi = bi + bi , i = 1, . . . , n, (2) где {yi }, {ai } и {bi } — ненаблюдаемые случайные ошибки. Величины ai и bi будем называть коэффициентами, а описанную модель ре- грессии — моделью со случайными ошибками в коэффициентах. Задача состоит в том, чтобы в модели дробно-линейной регрессии (1), (2), являющейся частным случаем модели нелинейной регрессии, оценить неизвестный параметр θ. Наш интерес к описанной модели регрессии вызван тем, что соотношения (1) определяют одномерный аналог известного в естественных науках уравне- ния Михаэлиса — Ментен, которое изучалось во многих работах (см. , например, [1–7]). При этом в ряде работ особое внимание уделяется задаче нахождения Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (проект РНП. 2. 1. 1. 1379), Российского фонда фундаментальных исследований (№ 08–01–00962), Совета по грантам президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ (код проекта НШ–3695. 2008. 1). c 2008 Линке Ю. Ю. , Саханенко А. И. Асимптотически нормальное оценивание 593 явных оценок неизвестных параметров этого уравнения, для построения кото- рых не использовались бы сложные конструкции и процессы последовательного приближения. Однако до появления наших работ [8, 9] все известные нам яв- ные оценки этих параметров при естественных предположениях оказывались смещенными. И только в [8] нам удалось решить задачу явного оценивания для модели (1), (2) при отсутствии случайных ошибок в независимых переменных, т.