Читать онлайн «Функторные морфизмы»

Министерство образования и науки Российской Федерации Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского А. В. Ершов ФУНКТОРНЫЕ МОРФИЗМЫ Учебное пособие для студентов механико-математического факультета Саратов ООО Издательский Центр "Наука" 2012 УДК [512. 581/. 582+512. 664+515. 142](075. 8) ББК 22. 144я73+22. 152я73 Е80 Ершов А. В. Е 80 Функторные морфизмы: Учебное пособие. - Саратов: ООО Издательский центр "Наука", 2012. - 80 с. ISBN 978-5-9999-1224-4 Данное издание представляет собой учебное пособие по теории категорий для студентов механико-математического факультета. Оно охватывает темы: функторные морфизмы (естественные преобразования), эквивалентность категорий, представимые функторы, пределы и копределы, группы в категориях, сопряжённые функторы. Каждое вводимое понятие иллюстрируется многочисленными примерами из различных областей математики. В тексте содержится большое количество задач, решение которых способствует активному усвоению материала. Среди рассматриваемых примеров существенное место отводится примерам из топологии, что позволяет рекомендовать данное пособие для использования в учебном процессе при подготовке магистров по профилю "Геометрия и топология". Рекомендуют к печати: Доктор физико-математических наук, профессор М. В. Лосик Кафедра геометрии Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского Работа издана в авторской редакции УДК [512. 581/. 582+512. 664+515. 142](075. 8) ББК 22. 144я73+22. 152я73 ISBN 978-5-9999-1224-4 ©А. В. Ершов, 2012 Оглавление 1 Функторные морфизмы 6 2 Эквивалентность категорий 14 3 Представимые функторы 30 4 Пределы и копределы 41 5 Группы в категориях 53 6 Сопряженные функторы 76 3 Введение Наряду с категорией и функтором, понятие функторного морфизма (иначе называемого естественным преобразованием) — одно из трёх базовых понятий теории категорий. В то время как обычные функторы являются морфизмами из одной категории в другую, естественные преобразования — морфизмы между функторами. По замечанию одного из создателей теории категорий, Саундерса Маклейна, теория категорий изначально была создана именно для изучения естественных преобразований. Дело в том, что ещё до появления теории категорий было замечено, что в математике существуют определённые преобразования (например, гомоморфизм векторного пространства в своё дважды двойственное), которые в силу своих специальных свойств были названы "естественными", но в то время не существовало полного понимания того, что эта "естественность" означает. В процессе попыток прояснить смысл этого стало ясно, что речь в действительности идёт о преобразованиях между значениями двух различных конструкций с одинаковой областью определения, и эти конструкции были названы функторами. В свою очередь, для того, чтобы дать точное определение функтора, были изобретены категории. Данная работа представляет собой пособие начального уровня по теории категорий для студентов математических специальностей, продолжающее [4].