Читать онлайн «Топологические и геометрические свойства отображений классов Соболева с суммируемым якобианом. I»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2000. Том 41, № 1 УДК 517. 54+517. 813. 52 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ КЛАССОВ СОБОЛЕВА С СУММИРУЕМЫМ ЯКОБИАНОМ. I C. K. Bодопьянов Аннотация: Получены аналитические условия на отображения классов Соболева, при выполнении которых отображение является монотонным, сохраняющим ориен- тацию, открытым и дискретным. Основу работы составляет наблюдение о том, что известное свойство равенства нулю в слабом смысле дивергенции столбцов присо- единенной матрицы может быть доказано с помощью формулы замены переменной со степенью отображения. Это означает, в частности, возможность доказательства этого свойства для отображений классов Соболева без аппроксимации отображения гладкими, что открывает новые области его применения. Библиогр. 22. Рассмотрим непрерывное отображение f : G → Rn , G ⊂ Rn , n ≥ 2. Отоб- ражение f называется открытым, если образ открытого множества открыт, и дискретным, если прообраз f −1 (y) любой точки y ∈ Rn состоит из изолиро- ванных точек. Цель настоящей работы — получить аналитические условия на отображение, гарантирующие для него те или иные топологические свойства. Аналитические требования на отображение f : G → Rn удобно формулиро- вать на языке пространств Соболева. Мы предполагаем, что все координатные функции fi отображения f = (f1 , . . . , fn ) принадлежат пространству Соболева 1 Wp,loc (G). Тем самым для почти всех точек области G определены формальная ∂fi
матрица Якоби Df (x) = ∂x j , i, j = 1, . . . , n, и ее якобиан J(x, f ) = det Df (x). Норма |Df (x)| матрицы есть норма линейного оператора, определяемого этой матрицей, в евклидовом пространстве Rn . Современный подход к исследованию топологических характеристик отоб- ражений по их аналитическим свойствам заложен Ю. Г. Решетняком при иссле- довании задач теории пространственных отображений с ограниченным искаже- нием [1]. Напомним, что отображение f : G → Rn называется отображением с ограниченным искажением, если выполняются следующие условия: 1 1) f ∈ Wn,loc (G), 2) существует постоянная K ∈ [1, ∞) такая, что |Df (x)|n ≤ KJ(x, f ) по- чти всюду в G. Наименьшая постоянная в этом неравенстве называется коэффициентом ква- зиконформности. Ю. Г. Решетняк доказал, что отображение с ограниченным искажением непрерывно, открыто и дискретно [1]. Ключевой момент его дока- зательства базируется на глубокой связи отображений этого класса с квазили- нейными уравнениями эллиптического типа и нелинейной теорией потенциала, Работа выполнена при финансовой поддержке Межвузовской НГП «Университеты Рос- сии — фундаментальные исследования» (код проекта №1797, финансирование осуществляется через Новосибирский госуниверситет) и INTAS (97–10170).