Читать онлайн «Курс комплексного анализа»

С. М. Натанзон КУРС КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА Электронное издание МЦНМО, 2014 УДК 517. 53. 57 ББК 22. 16 Н33 Натанзон С. М. Курс комплексного анализа Электронное издание М. : МЦНМО, 2014 48 с. ISBN 978-5-4439-2030-6 В книге излагаются основные вопросы теории функций комплекс- ного переменного. Начиная с комплексного дифференцирования, ав- тор доводит изложение до весьма сложных разделов теории, включая недавние достижения в эффективизации теоремы Римана. Книга основана на записях лекций, которые автор читал в раз- ные годы в Независимом московском университете и в Высшей школе экономики. Подготовлено на основе книги: С. М. Натанзон . Курс комплексного анализа. | М. : МЦНМО, 2012. Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер. , 11. М. , 2012 ISBN 978-5-4439-2030-6 c МЦНМО, 2014  Введение Теорема Римана утверждает, что связная односвязная область на комплексной плоскости D ⊂ C, D 6= C, переводится биголоморфным (конформным) преобразованием fD : D → ˜ во внутренность единич- ного круга ˜ = {z ∈ C | |z | < 1}. Это одна из важнейших теорем математики. Более того, проблема вы- числения отображения fD возникает при решении задач гидромехани- ки, аэромеханики, теории потенциала, теории фильтрации и др. К этим задачам сводятся, в свою очередь, различные прикладные проблемы от проектирования самолетов до поиска и добычи полезных ископаемых, в частности нефти и газа (см. [1], [2] и цитированную там литературу). Стандартное доказательство существования нужного конформного отображения для произвольной области использует базисные теоремы теории функций комплексного переменного. Эта теорема существова- ния не дает, однако, никаких подходов к вычислению этой функции. До недавнего времени формульные решения существовали лишь для весь- ма специальных областей, редко встречающихся в приложениях [2]. Для конкретных расчетов использовались численные методы со всеми свой- ственными такому подходу недостатками. Прогресс пришел с совершенно неожиданной стороны, когда в рабо- тах [8]|[12] была открыта связь между теоремой Римана и фундамен- тальными разделами современной теоретической физики: интегрируе- мыми системами, матричными моделями и теорией струн [6], [15], [16]. Оказалось, что на множестве всех областей D с гладкой границей су- ществует универсальная функция F , в терминах которой выражается функция fD : D → ˜. Теория интегрируемых систем позволила найти ([7], [13], [14]) функцию F в виде ряда Тейлора от естественных пара- метров, характеризующих область D. Это позволяет эффективизиро- вать формулы для вычисления конформных отображений произвольной области с гладкой границей. Всем этим вопросам и посвящена настоящая книга. Для ее изуче- ния достаточно стандартных знаний по математическому анализу в объеме 1|2 курса (см. , например, [4]).