Читать онлайн «О доказательства в геометрии»

5Гопг|лярные лекции ПО МАТЕМАТИКЕ «sote» А. И. ФЕТИСОВ О ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ В ГЕОМЕТРИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО . ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА• 1954 ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ВЫПУСК 14 А. И. ФЕТИСОВ О ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ В ГЕОМЕТРИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1954 11-3-1 "* ВВЕДЕНИЕ Однажды, в самом начале учебного года, мне пришлось услышать разговор двух девочек. Старшая из них перешла в шестой класс, младшая — в пятый. Девочки делились своими впечатлениями об уроках, учителях, подругах, о новых пред- предметах. Шестиклассницу очень удивили уроки геометрии: «Вот чудеса,—говорила она, — пришла учительница в класс, на- нарисовала на доске два равных треугольника, а потом целый урок доказывала нам, что они — равные. Никак не пойму: за- зачем это нужно?». —«А как же ты урок будешь отвечать?»— спросила младшая девочка. '—«Выучу по учебнику... вот только очень трудно запомнить, где какую букву нужно ставить. . . ». В тот же день вечером я слышал, как эта девочка, сидя у окна, усердно учила геометрию: «Для доказательства на- наложим треугольник А'В'С на треугольник ABC. . . наложим треугольник А'В'С на треугольник ABC... » — неоднократно повторяла она. К сожалению, мне не удалось узнать, насколько успешно училась эта девочка по геометрии, но думается, что учиться ей по этому предмету было довольно трудно. Несколько дней спустя пришел ко мне мой сосед по квартире Толя, тоже шестиклассник, и также с претен- претензиями к геометрии. Им рассказали на уроке и задали на дом выучить теорему о том, что в треугольнике внешний угол больше всякого внутреннего, несмежного с ним. Толя показал мне чертеж из учебника Киселева (черт. 1) и спросил: «Зачем нужно приводить длинное и сложное доказательство, когда на этом чертеже совершенно ясно видно, что внешний угол треугольника — тупой, а несмежные с ним внутренние углы — острые? Но ведь тупой угол всегда больше острого,—убе- острого,—убеждал меня Толя,—это же ясно без всякого доказательства». И мне пришлось разъяснить Толе, что предложение это 1* 3 совсем не очевидно и что есть полное основание требовать доказательства предложения о внешнем угле треугольника. Наконец, совсем недавно один восьмиклассник показал мне свою контрольную работу, за которую ему, по его сло- словам, «несправедливо» снизили оценку. В предложенной задаче была дана равнобедренная трапеция с основаниями в 9 и ^25 см и с боковой стороной в 17 см и предлагалось D Черт. 1. определить высоту трапеции. Для решения этой задачи в тра- трапецию была вписана окружность, причем было сказано, что на основании теоремы об описанном четырехугольнике (в опи- описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны) в эту трапецию вписать окружность можно (9 -|— 25 == = 17-j-17). Далее же высота определялась как диаметр окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, который равен среднему пропорциональному между основаниями тра- трапеции (такое предложение учащимися было доказано в одной из ранее решенных задач).