Читать онлайн «Свойство С1-гладких функций, множество значений градиента которых является нигде не плотным множеством»

Сибирский математический журнал Ноябрь—декабрь, 2007. Том 48, № 6 УДК 517. 95 СВОЙСТВА C 1 –ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ, МНОЖЕСТВО ЗНАЧЕНИЙ ГРАДИЕНТА КОТОРЫХ ЯВЛЯЕТСЯ НИГДЕ НЕ ПЛОТНЫМ МНОЖЕСТВОМ М. В. Коробков Аннотация. Одним из основных результатов настоящей статьи является Теорема. Пусть v : Š → R — C 1 -гладкая функция на области Š ⊂ R2 . Предположим, что Int ∇v(Š) = ∅. Тогда для любой точки z ∈ Š найдется прямая L 3 z такая, что ∇v ≡ const на компоненте связности множества L ∩ Š, содержащей точку z. Доказано также, что при выполнении условий теоремы множество значений градиента ∇v(Š) локально представляет собой кривую, причем у этой кривой име- ются касательные в слабом смысле и направление этих касательных есть функция ограниченной вариации. Ключевые слова: C 1 -гладкая функция, множество значений градиента, нигде не плотное множество. Введение Как известно, если C 2 -гладкая функция v = v(x, t), определенная в обла- сти Š ⊂ R2 , удовлетворяет дифференциальному уравнению vt = ϕ(vx ), где ϕ : R → R — C 1 -гладкая функция, то через каждую точку z0 ∈ Š проходит прямая линия (характеристика), на которой ∇v = const (см. , например, [1, § 55]). В на- стоящей статье показано (см. ниже теорему 1. 1), что это свойство имеет место в гораздо более общей ситуации: когда v есть произвольная C 1 -гладкая функция двух переменных, множество значений градиента которой не имеет внутренних точек. Оказалось также, что все такие функции являются решением некоторого нелинейного дифференциального уравнения (см. ниже теорему 1. 4). В последние годы ряд математиков (Болл (J. M. Ball), Мюллер (S. Müller), Шверак (V. Šverák), Кирхейм (B. Kirchheim), М. А. Сычев и др. , см. , напри- мер, [2]) изучали следующую проблему: каким условиям должно удовлетворять множество K, чтобы дифференциальное соотношение ∇v ∈ K имело нетриви- альные липшицевы решения? Мы изучаем сходную проблему для C 1 -гладких (не только липшицевых) решений дифференциальных соотношений. Из наших результатов, в частности, следует, что если нигде не плотное множество K ⊂ R2 является множеством значений градиента C 1 -гладкой функции, то локально K Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 05–01–00482–а), гранта Фонда содействия отечественной науке для молодых кандидатов, Совета по грантам Президента Российской Федерации для поддерж- ки ведущих научных школ (грант НШ–8526. 2006. 1), Междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН (№ 117, 2006) и Лаврентьевского гранта для молодых ученых СО РАН (№ 5). c 2007 Коробков М. В. Свойства C 1 -гладких функций 1273 представляет собой кривую, причем у этой кривой имеются касательные в неко- тором слабом смысле и направление этих слабых касательных меняется как функция ограниченной вариации (см. ниже теоремы 1. 4, 1. 9).