Читать онлайн «Адиционная теорема для многообразий с дискретным спектром оператора Лапласа»

Сибирский математический журнал Май—июнь, 2006. Том 47, № 3 УДК 515. 164. 13 АДДИЦИОННАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ МНОГООБРАЗИЙ С ДИСКРЕТНЫМ СПЕКТРОМ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА В. И. Кузьминов, И. А. Шведов Аннотация: Вопрос о сохранении дискретности спектра оператора Лапласа, дей- ствующего в пространстве дифференциальных форм, при разрезании и склеивании многообразий сводится к аналогичным вопросам о компактной разрешимости опе- ратора внешнего дифференцирования. На этой основе указаны условия на разрез Y , разбивающий риманово многообразие X на две части X+ и X− , при выполне- нии которых спектр оператора Лапласа на X дискретен тогда и только тогда, когда дискретны спектры операторов Лапласа на X+ и X− . Ключевые слова: оператор Лапласа, дифференциальные формы, спектр самосо- пряженного оператора. 1. Введение Пусть риманово многообразие X разбито гладкой поверхностью Y на две области X+ и X− . Представляет интерес задача о том, как соотносятся между собой спектральные свойства операторов Лапласа, действующих в простран- ствах дифференциальных форм на многообразиях X, X+ и X− . В случае форм степени 0 эта задача тесно связана с так называемым принципом расщепления в качественной спектральной теории дифференциальных операторов [1]. В качестве операторов Лапласа в указанной задаче естественно рассмат- ривать самосопряженные расширения минимального оператора kmin , порож- денного дифференциальной операцией k . Если многообразие X полно (без края), то такое расширение единственно. В общем случае это не так. Поэто- му необходимо указывать, какие именно операторы Лапласа, действующие на многообразиях X, X+ и X− , имеются в виду. Мы рассматриваем операторы k = D∗ ◦ D, где D — замкнутый оператор, порожденный дифференциальной операцией d × δ, d — операция внешнего дифференцирования, δ — операция кодифференцирования. Ключевым моментом в нашем исследовании является следующий факт: спектр оператора D∗ ◦ D дискретен тогда и только тогда, когда оператор D ком- пактно разрешим и dim Ker D < ∞. Этот результат позволяет свести вопрос о сохранении дискретности спектра оператора Лапласа при разрезании и склеивании многообразий к аналогичным вопросам о компактной разрешимости операторов внешнего дифференцирова- ния и на этой основе найти условия, при выполнении которых спектр оператора Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам президента РФ и го- сударственной поддержке ведущих научных школ (код проекта НШ–311. 2003. 1). c 2006 Кузьминов В. И. , Шведов И. А. 558 В. И. Кузьминов, И. А. Шведов Лапласа на многообразии X дискретен в том и только том случае, когда дис- кретны спектры соответствующих операторов Лапласа на многообразиях X+ и X− . Все результаты работы о спектре операторов относятся к самосопряжен- ным операторам, действующим в гильбертовом пространстве.