Читать онлайн «Устойчивость в теоремах Коши и Мореры для голоморфных функций и их пространственные аналоги»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2003. Том 44, № 1 УДК 517. 54 УСТОЙЧИВОСТЬ В ТЕОРЕМАХ КОШИ И МОРЕРЫ ДЛЯ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ АНАЛОГИ А. П. Копылов, М. В. Коробков, С. П. Пономарев Аннотация: Получены критерии ограниченности искажения отображения через интегральную оценку его функции кратности без каких-либо априорных предпо- ложений о дифференциальных свойствах этого отображения. Наиболее ясную и в некотором роде окончательную форму имеет результат для комплексных функций f :  ⊂ C → C одной комплексной переменной. Найденные результаты распростра- нены на случай многомерных систем уравнений Бельтрами. Ключевые слова: устойчивость в теоремах Коши и Мореры, голоморфные функ- ции, системы типа Бельтрами, отображения с ограниченным искажением Полученные в настоящей работе интегральные критерии ограниченности коэффициента искажения отображения усиливают и обобщают результаты ра- бот [1–4]. Наиболее ясную и в некотором роде окончательную форму имеет результат для комплексных функций f :  ⊂ C → C одной комплексной переменной, т. е. для ситуации, когда класс отображений с ограниченным искажением совпадает с классом решений уравнений Бельтрами fz̄ (z) = q(z)fz (z), (1) где ess sup |q(z)| = q0 < 1 (2) z∈ (см. теорему 3). При этом особое значение имеет то обстоятельство, что теоре- му 3 естественно рассматривать как утверждение об устойчивости в классиче- ских теоремах Коши и Мореры о голоморфных функциях. Нами установлены также теоремы типа Коши и Мореры для решений мно- гомерных систем Бельтрами. Всюду в дальнейшем  — область (открытое связное множество) в веще- ственном арифметическом евклидовом пространстве Rn , n ≥ 2. Поле C ком- плексных чисел будем естественным образом отождествлять с R2 . Напомним, что непрерывное отображение f = (f1 , . . . , fn ) :  → Rn называется отобра- жением с ограниченным искажением [5], если оно удовлетворяет следующим условиям: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (коды проектов 02–01–01009, 02–01–06030), INTAS (код проекта 97–10170), гранта № 8 конкурса-экспертизы РАН для молодых ученых и гранта государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (код проекта 00–15–96165). c 2003 Копылов А. П. , Коробков М. В. , Пономарев С. П. Устойчивость в теоремах Коши и Мореры 121 1 (i) f ∈ Wn,loc (); (ii) J(f, x) = det ∂f
∂xl ≥ 0 п. в. в ; k (iii) существует постоянная K ≥ 1 такая, что |f 0 (x)|n ≤ Knn/2 J(f, x) п.