Читать онлайн «Уравнения с частными производными 1 порядка»

московский государственный университет имени М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет А. Ю. Горицкий С. Н. Кружков Г. А. Чечкин УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. (Учебное пособие) Москва 1999 Горицкий А. Ю. , Кружков С. Н. , Чечкин Г. А. "Уравнения с частными производными первого порядка. (Учебное пособие) В пособии изучаются уравнения с частными производными первого порядка. Рассмотрены вопросы локального существования гладких решений задачи Коши для линейных, квазилинейных п нелинейных уравнений. Подробно изложена теория разрывных обобщенных решений для квазилинейного уравнения с одной пространственной переменной. Получено условие допустимости разрыва, введены понятия энтропии и энергии. Особое внимание уделяется решению задачи Римана о распаде произвольного разрыва. Пособие содержит большое количество оригинальных задач и упражнений; многие вопросы излагаются на примере пх решения. Предназначено для студентов, изучаюпщх курс уравнений с частными производными. Может быть использовано в качестве задачника но данной теме. ISBN 5-87597-061-8 © Горицкий А. Ю. , Кружков С. Н. , Чечкин Г. А. , 1999г. Оглавление Предисловие 5 Введение б 1. Вывод уравнений 7 2. Локальная классическая теория 10 2. 1. Линейное уравнение 11 2. 2. Квазилинейное уравнение 14 2. 3. Характеристики нелинейного уравнения 16 2. 4. Задача Коши для нелинейного уравнения 18 2. 5. Примеры нелинейных уравнений 21 2. 6. Теорема существования решения задачи Коши 23 3. Классические (гладкие) решения задачи Коши и формирование особенностей 29 3. 1. Квазилинейное уравнение с одной пространственной переменной 29 3. 2. Сведение решения задачи Коши к неявному функциональному уравнению 33 3. 3. Условие суш;ествования гладкого решения в полосе . . 35 3. 4. Формирование особенностей 37 4. Обобщенные решения квазилинейного уравнения 40 4. 1. Понятие обобш;енного решения 40 4. 2. Условие Ранкина-Гюгонио 42 4. 3. Пример неединственности обобш;енного решения задачи Коши в смысле интегрального тождества 50 4. 4. Одномерное нелинейное уравнение 53 5. Понятие обобщенного энтропийного решения 56 5. 1. Условие допустимости разрыва в случае вьшуклой функции состояния 57 5. 2. Метод "исчезаюш;ей вязкости" 60 5. 3. Понятие энтропии и необратимость процессов 67 5. 4. Энергетические оценки 6S 5. 5. Определение обобш;енного решения по Кружкову ... 73 3 6. Задача Римана о распаде разрыва 79 6. 1. Уравнение Хонфа 80 6. 2. Случай выпуклой функции состояния 82 6. 3. Случай невынуклой функции состояния 85 Заключение 90 Литература 94 Предисловие Настоящий учебник является существенно расширенным и переработанным изданием книги [14]. Идея написания такого учебного пособия принадлежит Станиславу Николаевичу Кружкову, вклад которого в теорию уравнений с частными производными первого порядка трудно нереоцепить. Это издание выходит уже после безвременной кончины профессора С. Н. Кружкова, выдающегося математика и талантливого педагога. Хочется отметить огромную роль Станислава Николаевича в реорганизации курса уравнений с частными производными, который читается на механико-математическом факультете МГУ им.