Читать онлайн «Об устойчивости классов липшицевых отображений, порожденных компактными множествами пространства линейных отображений»

Сибирский математический журнал Июль—август, 2000. Том 41, № 4 УДК 517. 518. 2+517. 956 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ КЛАССОВ ЛИПШИЦЕВЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ, ПОРОЖДЕННЫХ КОМПАКТНЫМИ МНОЖЕСТВАМИ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ М. В. Коробков Аннотация: Изучаются вопросы устойчивости классов отображений Z(G), порож- денных компактными подмножествами G пространства L(Rn , Rm ) линейных отоб- ражений из Rn в Rm в следующем смысле: Z(G) состоит из локально липшицевых отображений g : ∆ → Rm областей ∆ ⊂ Rn , для каждого из которых существует компонента связности K множества G, такая, что дифференциалы g 0 (x) почти во всех точках x ∈ dom g принадлежат K. Доказано, что класс Z(G) устойчив, если T kS α G допускает представление в виде G = Gα α i , где Gi — выпуклые компакт- α∈A i=1 ные множества, причем для всех α ∈ A Gα α i ∩ G ∩ Gj = ∅ при i 6= j. Показано, что при n = 1 это условие становится также и необходимым для устойчивости классов Z(G), а при m = 1 критерием устойчивости является выпуклость компо- нент связности G. Кроме того, получены теоремы об устойчивости решений систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными, а также тео- рема об устойчивости классов конформных отображений, которые могут содержать в себе одновременно как сохраняющие, так и меняющие ориентацию отображения. Библиогр. 10. Теория устойчивости классов отображений играет значительную роль в со- временном анализе. Одним из ведущих направлений в ней являются исследо- вания по устойчивости плоских и пространственных конформных отображений (см. , например, [1]). Альтернативное направление исследований было предло- жено Ф. Джоном в его работах по устойчивости класса изометрических преоб- разований [2]. Дальнейшее развитие теория устойчивости получила благодаря созданию А. П. Копыловым общих подходов к изучению проблем устойчивости классов отображений, названных им концепциями ξ- и ω-устойчивости [3, 4]. Первая из них восходит к теории устойчивости конформных отображений, в то время как вторая имеет дело с классами липшицевых отображений и регу- лярным образом согласуется с упомянутой теорией Ф. Джона. А именно, ω- устойчивость класса изометрических отображений и устойчивость этого класса по Ф. Джону суть одно и то же (см. [3]). Понятие ω-устойчивости означает, по существу, что из локальной близости отображения f к отображениям изучаемо- го класса следует его близость к ним в C-норме (см. разд. 1 настоящей статьи). В последнее время теория ω-устойчивости разрабатывалась А. А. Егоровым [5– 7], который получил интересные результаты, касающиеся классов аффинных Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 99–01–00517) и INTAS (код проекта IR–97–0170).