Читать онлайн «Механика материальной точки: Пособие по выполнению домашнего задания»

1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Основные теоретические сведения Положение материальной точки (МТ) в пространственной системе отсчета r задается ее радиус-вектором ra = {xa , ya , za } — вектором, проведенным из на- чала координат в данную точку а (рис. 1. 1). При движении МТ ее радиус-вектор y меняется. Функция, выражающая измене- ние радиус-вектора во времени, называется законом или уравнением движения. Закон a движения можно записать как в векторной, yа r ra так и в координатной форме zа ⎧ x = x(t ), r r ⎪ x r = r (t ) или ⎨ y = y (t ), (1. 1) xа ⎪ z = z (t ). z ⎩ Знание закона движения МТ позволяет Рис 1. 1. r получить всю информацию о ее движении. r В частности, скорость V и ускорение a МТ определяются формулами r r dr r dV r =V и = a. (1. 2) dt dt Соответственно для проекций скорости и ускорения справедливы формулы dx dy dz = Vx , = Vy , = Vz , (1. 3) dt dt dt dVx dVy dVz = ax , = ay , = az . (1. 4) dt dt dt r Зная закон движения, можно определить вектор перемещения Δr , прой- денный путь S, радиус кривизны траектории и другие дополнительные характе- ристики движения. Задачи, в которых по известному закону движения путем его дифференцирования определяются скорость, ускорение и другие дополни- тельные кинематические характеристики движения, называются прямыми зада- чами кинематики. Соответственно задачи, в которых по известным дополни- тельным характеристикам движения “восстанавливается” закон движения, на- зываются обратными задачами кинематики. Обратные задачи значительно труднее прямых. В простейших случаях они сводятся к интегрированию диф- ференциальных уравнений (1. 3) и (1. 4) методом разделения переменных. На- пример, если задана зависимость проекции ускорения от времени ax(t), то урав- нение (1. 4) можно записать в виде dVx = ax(t). dt.