Читать онлайн «Об интегрировании уравнений с частными производными высших порядков - рассуждение для получения степени магистра чистой математики»

ОБЪ ИНТЕГРИРОВАН! ВЫСШИХЪ ПОРЯДКОВЪ. РАЗСУЖДЕНІЕ,. ишедаов дяя ролучанія степени магистра чистое математики. ЫииШЪ В. ИРЕОБРДЖЕЕСКНЫЪ МОСКВА. , ^ Въ Университетское тпдографш (Катновъ в К0) ■ ■ CtpioTsoitUyjiiip*. 1874. "- ИздатеМосковсжаго Математические Общества, состоящие пр» Иипе- раторсвомъ Моежовсюкъ Университет!. ОБЪ ИНТЕГРИРОВАНІИ УРАВНЕНІЙ СЪ ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВЫСШИХЪ ПОРЯДКОВЪ. (Сообцено 20 октдбрл ж 23 декабря 1873 г. ) ■ЦРБДИСЛОВГК. Въ теоріи интегрнрованія уравненій съ частными прокз- подними высшихъ порядковъ обстоятельно разобранъ только способъ Монжа для интегрирования такихъ уравненій 2-го порядка съ двумя независимыми, который допускаютъ промежуточный ннтегралъ 1-го порядка съ одною произвольною функціею; между тѣмъ существуетъ множество уравненій 2-го порядка, имѣющнхъ первоначальный ннтегралъ въ конечномъ н весьма простом-ь видѣ, но допускающих^ первые интегралы только 2-го или высшяхъ порядковъ (назва- ніе первый интегралъ я приникаю въ болѣе широкою, снн- елѣ, чѣмъ принято до сихъ доръ; о значение этого термина см. 1-ую главу). Примѣронъ такихъ уравненій ношегъ служить уравненіе: 2лѵ г—/=—г' х гдѣ л есть цѣлое число большее нуля; при а=1 такое уравненіе допускаегъ два первыхъ интеграла втораго порядка, при д=2—два первыхъ интеграла 3-го яорядка и т. д. Подобно тому, какъ пріемъ Монжа основанъ на отнсканін первыхъ ігетеграловъ 1-го порядка, общій прІемъ доляееъ ниѣть дѣлью отысканіе первыхъ интеграловъ какого угодно порядка. Для нахождения первыхъ вдтеграловъ 2-го порядка жо- _ 4 — гут* служить дифференціальныл уравненія, найденныя одновременно А. Ю. Давидовым, в Du-Bois-Reymond'oMi. , если нѣ сколько изменить способ* их*, йнтеграціи: при епособѣ ннтеграціи, предложенном,*!. Давидовым*, успѣх* возможен*, вакъ мы доважемъ въ 3-й главѣ, тольтяі1 тогда, когда данное уравнение 2-го порядка допускает*- "первые интегралы 1-го порядка, или вообще, когда уравненіе «-го порядка до- пускаетъ первые интегралы и—1-го порядка; но стоить только сдѣлать въ отом* способѣ одно язмѣненіе, и тогда он* будет* приложим* ко всѣмъ уравненіям* 2-го порядка, допускающим* первые интегралы 2-го же порядка; ѳто измѣ- неніе состоять въ томъ, чтобы пользоваться одновременно тпеграламн обѣихъ систем*, доставляемых* двумя корвяии уравненія: dFdy* dFdy &F dr dx1 ds dx~*~ dt—-0* Обобщеніе подобнаго пріемадастъ интеграцию уравненій 2-го порядка, допускающих* первые интегралы каггого угодно порядка. Подобньшъ-же образом* получаем* иптегрированіе уравневій какого угодно порядка и иитегрврованіе системы уравненій с* нѣскольвими неизпѣстпыми функціямн. Таким* образом* разсуясденіе мое состоит* въ слѣдующем*: Въ 1-й главѣ я. излагаю происхождении уравнения с* частными производными изъ его полнаго или общего интеграла, и тѣ соотношенія, которыя существуют* между урав- неніемъ и его интегралами. Въ этой главѣ мнѣ принадлежит* новое понатіе о первых* интегралах* порядка равпаго или болыпаго цротивъ порядка даннаго уравненія.