Читать онлайн «Конечные разрешимые и нильпотентные группы с ограничением на ранг централизатора автоморфизма простого порядка»

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2000. Том 41, № 2 УДК 512 КОНЕЧНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ И НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ С ОГРАНИЧЕНИЕМ НА РАНГ ЦЕНТРАЛИЗАТОРА АВТОМОРФИЗМА ПРОСТОГО ПОРЯДКА Е. И. Хухро Аннотация: Пусть конечная разрешимая группа G допускает автоморфизм про- стого порядка p с централизатором ранга r. Доказывается, что фактор-группа G/F5 (G) по пятому члену ряда Фитинга имеет (p, r)-ограниченный ранг (теоре- ма 1). В случае, когда группа G нильпотентна, доказывается, что она обладает подгруппой H, которая нильпотентна p-ограниченной ступени и имеет (p, r, d)-огра- ниченный коранг, где d — ступень разрешимости группы G (теорема 2). Здесь по определению условие на «коранг» означает, что H и G связывает субнормальный ряд (p, r, d)-ограниченной длины, все факторы которого имеют (p, r, d)-ограничен- ные ранги. Соединение теорем 1 и 2 дает описание группы G в зависимости от ее ступени разрешимости d: имеется нормальный ряд длины 5, каждый фактор которого содержит нильпотентную подгруппу (p, r, d)-ограниченного коранга и p- ограниченной ступени нильпотентности (следствие 2). Остаются открытыми во- просы о том, насколько можно уменьшить нильпотентную длину подгруппы огра- ниченного коранга в теореме 1 и можно ли в теореме 2 избавиться от зависимости коранга от ступени разрешимости. Только для p = 2 в известном смысле неулучша- емые результаты получены ранее Шумяцким. Доказательство теоремы 1 основано на теоремах типа Холла — Хигмэна. В доказательстве теоремы 2 развивается моди- фикация метода «градуированных централизаторов» для модулей над групповыми кольцами. Библиогр. 16. Юрию Леонидовичу Ершову в связи с шестидесятилетием § 1. Введение Будем для краткости говорить, что величина (a, b, . . . )-ограничена, если она ограничена сверху некоторой функцией, зависящей только от a, b, . . . . Если конечная группа содержит элемент простого порядка p с централиза- тором порядка m, то она содержит подгруппу (p, m)-ограниченного индекса, ко- торая нильпотентна p-ограниченной ступени. Этот результат складывается из работы Фонга [1], где по модулю классификации конечных простых групп огра- ничен индекс разрешимого радикала, работы Хартли и Майкснера [2], где для разрешимой группы ограничен индекс подгруппы Фиттинга, и работ Е. И. Хух- ро [3, 4], где рассмотрен случай нильпотентной группы. (Эти результаты явля- ются обобщениями теорем Томпсона [5] и Хигмэна — Крекнина — Кострики- на [6–8] о регулярных, т. е. не имеющих нетривиальных неподвижных точек, автоморфизмах простого порядка. ) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 99–01–00576).