Читать онлайн «Некоторые вопросы теории преобразования Фурье»

МОСКОВСКИМ ГОСЖДАРСТБЕННЫЬ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНО00ВА Механико—математический факультет Г. Е. ШИЛ0В НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Дополнение к книге "АНАЛИЬ III" Москва 1968год  НЕКОТОРЫЕ ВОЦРОСЫ ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ настоящее пособие является дополнением к книге "математический анализ, специальный курс" Г. Е. Шилова‚ которая обозначается в даль- нейшем “А-Ш". страницы указываются по 2-му изданию (;v[l‘,I96I). 9 I. gpioépasosatme Фурье в классе квадратично интегрирует): функций Здесь излагается теория Планшереля несколько по иному и более просто, чем в А-Ш. ‚Шт функции 50:) от одного переменного до ‚ принадлежащей пространству L1"-'1 L. 1(*0°,°°), преобразование Фурье 3165’) "3 ЕЕ ВСЁ] определяется по формуле со 3:(6) . -‘:-f,-'"-t ВИЗ] =~_£eiwx;)r‘C¢c)ol. r (1) (знак в правой части nausea быть тем же. что и влевой части). Форцула обращения имеетследужий вид M дссх) = 7211-;-‘L 8-. FL6x3i_CG'3o(C:‘ <:‘£‘L,";,§N') (2) она справедлива при данном значении -7c=3€o, если функция 5*(°¢) при ac = хо удовлетворяет условию лини (A-ul, C'1‘p. 35'7). Класс функции Ё Cf] не имеет простого внутреннего описания (из- вестно. что каддая-‚фуъпсция 3: C3’ )orpaHm:ena npn-0°-<6'«-'4°<=, непре- рывна и стремится к нулю при I5’ I что ;но эти условия сами по ce- бе етце не обеспечивают принадлежности данной функции 3(6) к классу ФУНКЦИЙ з: Е”. где $6 L1 ). для получения пространства функции fgoq c полным описанием пространства их преобразований Фурье. и по ряд других причин. переходят к рассмотрению пространства (°’°°›°°). Но форщгла (I) не годится для определения преобразования Фурье в пространстве Да ‚ поскольку существуют функции 53006 а, me B [д .

и. для которых, следовательно. интеграл (1) не имеет прямого сшшцнаприиер , §(x)=——-1—_. _———_-_= 1{1+ac’- не Jena-  _ 4 _ Чтобы построить преобразование Фурье в классе L2 , mc'ryua- ют следующим образом. Пусть S Ё Qx есть совокупность всех (Kon- плексно-значных) бесконечно дифференцируемых функций (две) , удовлетворяюдих при —-о<>4х< 0° неравенствам у и›‹ыэъ„мс„, Э/ги функции длелат и в классе L1 , и в классе L-2 . Положим WC5) г 9,019] . Амеет место равенство Царсеваля со 00 3 V/1(6) ~V,_(5*Tdo‘ = 27rj ~e1(«-w>;t=°5°‘~‘==‘— -- ac -ac (~_ означает переход к комплексному сопряжению) (А-Ш, стр. З9О). В частности ‚О 5\*нс‹т›1"о{6= :ur3°1~pc«>\%zx. ь- 00 Гаким образом, оператор Фурье §+ переводит функцию \0 E Sac B функцию V (б) той не самой L2 НОРМЫ (с коэдфициентлю/Ё). Реперь заметим, что класс Sm располагается всюду плотно в прост- ранстве L-Z (А-Ш, стр. 3'24‚ где нудно положить, например \fgC°¢‘)= 8-1’ и заметить, что €:x2-6 gxn что в пределах класса 5,: допустимо умножение на до ). это позволит следувоцим образом распространить определение преобразования Фурье с класса Sx на все Luz : пусть j-(x)€ Ьалюбая функция и последовательность ‘Р. „‚& Soc такова, что "К" э‘ "ЬГО; так как ||3;(\о„3-3‚(ч„)\|д:тдг7г!|ч>„-че‚„\|ч то функции З; ['~(’,,\ образуют в пространстве 1. . 2'("°°‘-5" °°) фундаментальную последовательность, которая, в силу полноты 1. . 2 , :1 3(6)‘, gonggg no опщделению 3(6):-' g;_*[ . Результат не зависит от выбора последовательности 30,, -> j- , так как из ?,:-> J’— сле- дует и\д„"7гьПд_*> О, откуда и'Н9;[‘Р„]‘$(Ё$‚;‚Т“д=Й‘РдЁгциьфак что последовательность 33, Ffilnueer тот же преЁел, что и послёдова- тельность з; 59,3. Покажем, что `З;*П_. ЭЁ‘Ф‘Ё>СФФЦ=ЪЁФ‘°"Ч. ШШ этого заметим.