Читать онлайн «Спектральный анализ многочастичного оператора Шредингера»

Московский ордена Ленина, ордена Октябрьской революции и ордена Трудового Красного Знамени государственный университет им. М. В. Ломоносова В. А. САДОВНИЧИЙ, Х. Х. МУРТАЗИН, А. М. ПОПОВА СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МНОГОЧАСТИЧНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА г>v :,*. ■■' Шйате^ЬствёМбёкобског^о университета 1984 УДК 517. 984. 5 САДОВНИЧИЙ В. А. , МУРТАЗИН Х. Х. , ПОПОВА AM Спектральный анализ многочастичного оператора Шредингера. М. : Изд-во Московского университета, 1984. —24 с. В настоящей работе проведено детальное изучение дискретного спектра оператора энергии Н системы трех частиц в специальном случае, когда начало непрерывного спектра совпадает с энергией трехчастичного распада системы. Для изучения дискретного спектра оператора Шредингера многочастичной системы развит специальный метод. В этом методе используются резольвентные уравнения с компактными операторами. Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета Московского университета ©Издательство Московского университета, 1984 г. 1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ТРЕХЧАСТИЧНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОБОЗНАЧЕНИЯ Рассматривается Я-оператор энергии трех попарно взаимодействующих частиц в системе координат, связанной с их неподвижным центром инерции. Оператор Я определен на пространстве размерности (R6)> в котором независимыми координатами являются два трехмерных вектора ka и ра в импульсном представлении, или два вектора ха , уа в конфигурационном представлении. В данной задаче целесообразно использовать координаты Якоби, в которых векторы ka или ха обозначают относительный импудьс и относительное расстояние двух частиц, объединенных в пару (а), ае(12,13> 23), а векторыра или уа являются импульсом или координатой третьей частицы, заданной относительно центра масс пары (ос). Определим в пространстве L2 (R6) оператор Я равенством #. = Я0+2Уа, (1) где Я0 — оператор кинетической энергии или оператор Лапласа (-Д$, инвариантно заданный на L2 (R6); Va — оператор двухчастичного взаимодействия, заданный на (R3), где независимыми являются координаты вектора относительного положения частиц в паре (ос) — ха или координаты вектора их относительного импульса -ра . Как известно, операторы Я0 и Va определены, например, в импульсном представлении формулами к2 Ра2 (ЯоГ )(*epe)= [-j^ + ~^]f(K,Poi), (2) (Vaf)( kaPoi) = / va(ka- k'a) f(Kpa) dk'a , (3) где jua и па — приведенные массы, связанные с массами частиц тит2и т3 соотношениями, соответствующими координатам Якоби. Интегрирование в (3) проводится по всему пространству (R3 ) координаты k^ . Предположение о короткодействующих двухчастичных силах означает, что функции *>а(&а) удовлетворяют условию \v0l(k0) \<с(1 + IfeJr* , с>0, в>2 . (4) Наше исследование состоит в изучении дискретного спектра Я, определенного в (1) при условии, что его непрерывный спектр отвечает энергии распада системы на три частицы. Это означает, что потенциалы Va не допускают ни связанных состояний при отрицательной энергии z а = 0 , ни виртуального уровня при z а = 0 в подсистеме двух частиц (а).