Читать онлайн «Устойчивость классов липшицевых отображений, теорема Дарбу и квазивыпуклые множества»

Сибирский математический журнал Сентябрь—октябрь, 2000. Том 41, № 5 УДК 517. 2+517. 957+517. 972 УСТОЙЧИВОСТЬ КЛАССОВ ЛИПШИЦЕВЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ, ТЕОРЕМА ДАРБУ И КВАЗИВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА А. А. Егоров, М. В. Коробков Аннотация: В работе доказан следующий результат. Пусть для компакта G про- странства L(Rn , Rm ) линейных отображений из Rn в Rm имеет место представление kα \ [ G= Gα i , α∈A i=1 где Gα α α i — квазивыпуклые компактные множества, причем Gi ∩ G ∩ Gj = ∅ для всех α ∈ A и любой пары индексов i 6= j. Тогда класс всевозможных локально липшицевых отображений g : ∆ → Rm областей ∆ ⊂ Rn , для каждого из которых при любом α ∈ A найдется номер i ∈ {1, . . . , kα } такой, что g 0 (x) ∈ Gα i для почти всех x ∈ dom g, является ω-устойчивым по А. П. Копылову. Отсюда, в частности, вытекает, что ω-устойчивыми являются класс In изо- метрических отображений (как сохраняющих, так и меняющих ориентацию), а также класс аффинных отображений, производные которых лежат в объединении G = SO(n)a1 ∪ . . . ∪ SO(n)ak , det ai 6= 0, SO(n)ai ∩ SO(n)aj = ∅ при i 6= j. С целью геометрического описания найденных ω-устойчивых классов отобра- жений в статье введено понятие qc-связности множеств в пространстве линейных отображений. Это понятие находит также важное применение в классическом диф- ференциальном исчислении. А именно установлено, что если дифференцируемое отображение f : ∆ → Rm области ∆ ⊂ Rn локально удовлетворяет условию Липши- ца, то образ Im f 0 производной f является qc-связным множеством. Библиогр. 20. В работе изучаются вопросы устойчивости классов отображений следую- щего вида. Определение 1. Пусть G — непустое компактное множество в простран- стве L(RnS , Rm ) линейных отображений из Rn в Rm , и пусть имеется разбие- ние G = Gt множества G на попарно не пересекающиеся компактные мно- t∈T жества Gt . Будем говорить, что класс отображений G порожден разбиением (Gt )t∈T , если он состоит из локально липшицевых отображений g : ∆ → Rm областей ∆ ⊂ Rn , для каждого из которых существует элемент разбиения Gt такой, что отображение g является решением дифференциального соотношения g 0 (x) ∈ Gt для почти всех x ∈ dom g. Работа поддержана РФФИ (код проекта 99–01–00517), INTAS (код проекта 97–0170) и программой «Ведущие научные школы». c 2000 Егоров А. А. , Коробков М. В. Устойчивость классов липшицевых отображений 1047 Здесь g 0 (x) — дифференциал отображения g в точке x.