Читать онлайн «Подмногообразия Lpq имеют конечный базис тождеств»

Сибирский математический журнал Май—июнь, 2003. Том 44, № 3 УДК 512. 545 ПОДМНОГООБРАЗИЯ Lpq ИМЕЮТ КОНЕЧНЫЙ БАЗИС ТОЖДЕСТВ Н. Н. Нарицын Аннотация: Рассматриваются многообразия решеточно упорядоченных групп с тождеством перестановки n-х степеней элементов. Установлено, что любое такое `-многообразие при n = pq, где p, q — разные простые числа, имеет конечный базис тождеств. Ключевые слова: многообразие, решеточно упорядоченная группа, тождество, конечный базис В теории многообразий любых алгебраических систем одним из основных является вопрос о существовании конечного базиса тождеств. Далее рассмат- ривается `-многообразие Ln , на котором выполнено тождество [xn , y n ] = e. Впервые такие многообразия были определены в [1], где также было уста- новлено соотношение Ln ∩ R = A . В частности, любая линейно упорядоченная подгруппа `-группы из Ln является абелевой. В [2] построена счетная серия {Sp } многообразий Sp , накрывающих многообразия всех абелевых `-групп A и таких, что Sp ⊆ Lp , где p простое. В [3] для каждого непростого p и в [4] для простого p установлено, что Sp 6= Lp . В [5] для простого p положительно решен вопрос о существовании конечного базиса тождеств `-подмногообразий в Lp . У. Холланд и Н. Рейли [6] независимо доказали конечную базируемость многообразий Sp . Независимо от С. А. Гурченкова [5] У. Холланд, А. Меклер и Н. Рейли [7] показали конечную базируемость подмногообразий в Lp ∩ A 2 . Позднее У. Холланд и Н. Рейли [8] доказали конечную базируемость подмно- гообразий из Ln ∩ A 2 с конечным базисным рангом, а С. А. Гурченков [9] — конечную базируемость любого подмногообразия в Ln ∩ A 2 . Н. Рейли [10] и независимо С. А. Гурченков [11] установили, что для любого многообразия M , в котором линейно упорядоченные группы абелевы, справедливы включения M ⊆ Ln для некоторого n = n(M ) и Ln ⊆ A k для некоторого k = k(n). В работе [12] С. А. Гурченков показал конечную базируемость подмногообразий из Ln , порожденных конечно порожденной `-группой, а также конечную бази- руемость `-многообразий M ⊂ Ln с конечным аксиоматическим рангом ra (M ). Все обозначения, не приводимые ниже, даны в [12–14]. В настоящей работе рассматривается `-многообразие Lpq , где p, q — разные простые числа. Установлено, что любое `-многообразие из Lpq имеет конечный базис тождеств. В работе [12] показано, что любое `-подмногообразие Ln порождается мно- жеством своих конечно порожденных конечно подпрямо неразложимых `-групп G, обладающих нижеследующим строением. Решеточно упорядоченная груп- па G имеет конечный ортогональный ранг ro (G), и для нее определено число k = k(G): c 2003 Нарицын Н. Н. Подмногообразия Lpq имеют конечный базис тождеств 637 k(G) = 1 + k(G1 ), если G — лексикорасширение `-группы G1 с помощью ли- нейно упорядоченной группы G/G1 , G1 6= G, E и G1 = G2 ×` G3 для некоторых G2 , G3 6= E; k(G) = max{k(G1 ), k(G2 )}, если G = G1 ×` G2 и G1 , G2 6= E; k(G) = 0, если G линейно упорядочена.