Читать онлайн «Изоморфизм и гамильтоново представление некоторых неголономных систем»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2007. Том 48, № 1 УДК 531. 38 ИЗОМОРФИЗМ И ГАМИЛЬТОНОВО ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ А. В. Борисов, И. С. Мамаев Аннотация: Рассматриваются вопросы, связанные с гамильтоновой формой двух задач из неголономной механики, — задачи о шаре Чаплыгина и задачи Весело- вой. Для этих задач найдено представление в виде обобщенных систем Чаплыгина, которые могут быть проинтегрированы с помощью метода приводящего множите- ля. Указан конкретный алгебраический вид скобок Пуассона, с помощью которых после надлежащей замены времени могут быть представлены уравнения движения указанных задач. Рассмотрены обобщения этих задач и предложены новые спосо- бы реализации неголономных связей. Указан ряд неголономных систем, обладаю- щих инвариантной мерой и достаточным числом первых интегралов, для которых вопрос о гамильтоновой форме даже после замены времени остается открытым. Доказана теорема об изоморфизме динамики шара Чаплыгина и движения тела в жидкости в случае Клебша. Ключевые слова: неголономные системы, приводящий множитель, гамильтони- зация, изоморфизм. Рассмотрим сначала некоторые общие результаты относительно способа ин- тегрирования неголономных систем, названного С. А. Чаплыгиным [1] методом приводящего множителя. Мы модифицируем этот метод таким образом, чтобы он был применим для более широкого класса систем — так называемых обоб- щенных систем Чаплыгина. В остальных разделах мы применим эти результа- ты к явному нахождению пуассоновой структуры и изоморфизмов с другими интегрируемыми гамильтоновыми системами. 1. Обобщенные системы Чаплыгина Рассмотрим механическую систему с двумя степенями свободы, уравнения движения которой можно записать в виде     d ∂L ∂L d ∂L ∂L − = q̇2 S, − = −q̇1 S, dt ∂ q̇1 ∂q1 dt ∂ q̇2 ∂q2 (1) S = a1 (q)q̇1 + a2 (q)q̇2 + b(q), где L — функция координат и скоростей, которую будем также называть ла- гранжианом системы. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (коды проектов 04–05–64367, 05–01–01058), Совета по грантам президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ (код проекта НШ–1312. 2006. 1) и INTAS (грант 04–80–7297). c 2007 Борисов А. В. , Мамаев И. С. 34 А. В. Борисов, И. С. Мамаев При специальном выборе функции S получается обычная система Чаплы- гина (при этом заведомо b(q) = 0) [1]. Как показал С. А. Чаплыгин, к виду (1) при b(q) = 0 приводятся уравнения так называемых саней Чаплыгина, которые могут быть проинтегрированы при помощи излагаемого ниже метода приводя- щего множителя и решения уравнения Гамильтона — Якоби.