Читать онлайн «Автоморфизмы и дифференцирования в расширенной комплексной f-алгебре»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2006. Том 47, № 1 УДК 517. 98+512. 8 АВТОМОРФИЗМЫ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В РАСШИРЕННОЙ КОМПЛЕКСНОЙ f –АЛГЕБРЕ А. Г. Кусраев Аннотация: Устанавливается, что в расширенном комплексном K-пространстве с фиксированной мультипликативной структурой σ-дистрибутивность базы равно- сильна каждому из следующих утверждений: (1) любой нерасширяющий линейный оператор порядково ограничен; (2) нет ненулевых дифференцирований; (3) любой нерасширяющий эндоморфизм является порядковым проектором; (4) нет нетриви- альных нерасширяющих автоморфизмов. Ключевые слова: векторная решетка, f -алгебра, нерасширяющий оператор, диф- ференцирование, автоморфизм. Семёну Самсоновичу Кутателадзе к его шестидесятилетию 1. Введение Известно, что база расширенного пространства Канторовича представляет собой σ-дистрибутивную булеву алгебру в том и только в том случае, когда вся- кий нерасширяющий линейный оператор в нем порядково ограничен или, что то же самое, регулярен. В то же время σ-дистрибутивность базы равносильна ло- кальной одномерности K-пространства [1, 2]. Таким образом, если расширенное K-пространство не является локально одномерным, то в нем можно построить нерегулярный нерасширяющий линейный оператор. Впервые это было сделано в [3, 4]. Подробное изложение этого круга вопросов и соответствующий истори- ческий комментарий имеется в [2, гл. 5]. Булевозначный подход к изучению нерасширяющих операторов, развитый в [5], обнаруживает новые взаимосвязи. Так, например, построение операто- ра указанного выше типа можно провести внутри подходящего булевозначного универсума с помощью базиса Гамеля поля вещественных чисел, рассматрива- емого как векторное пространство над некоторым его подполем, см. [5, 6]. Точ- нее говоря, расширенное K-пространство в соответствии с теоремой Гордона [6, 10. 3. 4] можно представить как спуск R↓ булевозначного поля вещественных чи- сел R, а образом стандартного поля вещественных чисел R (при каноническом вложении стандартного универсума V в булевозначный универсум V(B) ) служит подполе R∧ поля R. Разумеется, некоторые важные свойства K-пространства R↓ связаны со строением поля вещественных чисел R, рассматриваемого как векторное пространство над R∧ . В частности, используя базис Гамеля, можно построить разрывную R∧ -линейную функцию в R, которая и дает нерегуляр- ный линейный нерасширяющий оператор в R↓. c 2006 Кусраев А. Г. 98 А. Г. Кусраев Цель настоящей работы — провести аналогичные построения, но привлекая базис трансцендентности вместо базиса Гамеля, и получить новые характери- зации K-пространств с σ-дистрибутивной базой в терминах более узкого клас- са нерасширяющих линейных операторов. Развивая булевозначный подход из [5], устанавливаем, что в расширенной комплексной f -алгебре (т.