Читать онлайн «Определение параметров слоистой кусочно постоянной среды при неизвестной форме импульсного источника»

Сибирский математический журнал Ноябрь—декабрь, 2007. Том 48, № 6 УДК 517. 958 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СЛОИСТОЙ КУСОЧНО ПОСТОЯННОЙ СРЕДЫ ПРИ НЕИЗВЕСТНОЙ ФОРМЕ ИМПУЛЬСНОГО ИСТОЧНИКА В. Г. Романов Аннотация. Для гиперболического волнового уравнения, содержащего в себе неко- торый параметр λ, рассматривается задача об определении кусочно постоянной ско- рости распространения волн и ряда параметров, входящих в условия сопряжения. При этом форма импульсного точечного источника, инициирующего процесс коле- баний, считается неизвестной. Доказывается, что при определенных предположе- ниях о ее структуре искомые параметры среды однозначно определяются заданием смещений точек границы для двух различных значений λ. Приводится алгоритм решения задачи. Ключевые слова: волновое уравнение, обратная задача, алгоритм решения. § 1. Введение, основные результаты Пусть y0 , y1 , y2 , . . . , yk , . . . , 0 = y0 < y1 < y2 < · · · < yk < . . . , — упорядо- ченная конечная или бесконечная последовательность точек полуоси {y ≥ 0}, делящая ее на конечное или бесконечное число сегментов (yk−1 , yk ), а {ck , k = 1, 2, . . . }, {ak , k = 1, 2, . . . } — две последовательности положительных чисел. Предположим, что (ck , ak ) 6= (ck+1 , ak+1 ) для всех k = 1, 2, . . . . Будем считать также, что в случае бесконечной последовательности {yk } ее единственная пре- дельная точка находится на бесконечности. Рассмотрим в области G = R+ × R, R+ = {y ∈ R | y > 0}, процесс распространения волн, описываемый дифферен- циальным уравнением utt − c2k uyy + λ2 c2k u = 0, (y, t) ∈ (yk−1 , yk ) × R, k = 1, 2, . . . , (1. 1) начальными и граничными условиями u|t<0 ≡ 0, uy |y=0 = 0, (1. 2) условиями сопряжения u|y=yk +0 = u|y=yk −0 , ak+1 uy |y=yk +0 = ak uy |y=yk −0 , k = 1, 2, . . . , (1. 3) и условием возбуждения волн точечным импульсным источником, сосредото- ченным в некоторой точке y ∗ ∈ (y0 , y1 ): u|y=y∗ +0 = u|y=y∗ −0 , uy |y=y∗ +0 − uy |y=y∗ −0 = f (t) (f (t) ≡ 0, t < 0). (1. 4) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 05–01–00171) и Сибирского отделения РАН (проект 2006 № 26). c 2007 Романов В. Г. Определение параметров кусочно постоянной среды 1339 Здесь u = u(λ, y, t), а λ — некоторый параметр задачи. Такой параметр возника- ет обычно в задачах распространения волн в слоистых средах после применения к волновому уравнению преобразования Фурье по всем пространственным пе- ременным, отличным от переменной y. При заданных ck , ak и f (t) задача (1. 1)–(1. 4) корректна и определяет функ- цию u(λ, y, t), обладающую компактным носителем при любом конечном t. В приложениях представляет интерес задача об определении структуры среды (в данном случае постоянных yk , ck , ak , k = 1, 2, . . . ) по измеренным на границе области смещениям точек среды u|y=0 = F (λ, t), t ∈ (0, T ), (1. 5) для некоторого конечного интервала времени и для различных значений пара- метра λ. Фактически речь идет о построении двух кусочно постоянных функций c = c(y) и a = a(y), совпадающих с числами ck и ak соответственно на промежут- ках (yk−1 , yk ) их постоянства.