Читать онлайн «О финслеровых инвариантных внутренних метриках на однородных пространствах и сильных подалгебрах в алгебрах Ли»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2008. Том 49, № 1 УДК 512. 816 О ФИНСЛЕРОВЫХ ИНВАРИАНТНЫХ ВНУТРЕННИХ МЕТРИКАХ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И СИЛЬНЫХ ПОДАЛГЕБРАХ В АЛГЕБРАХ ЛИ В. В. Горбацевич Аннотация. Изучаются алгебраические условия, при которых все внутренние мет- рики на однородном пространстве являются финслеровыми. Эти условия были впервые найдены В. Н. Берестовским в терминах алгебр Ли и их подалгебр (соот- ветствующие подалгебры называются в статье сильными). Получено описание строения сильных подалгебр в полупростых и в разреши- мых алгебрах Ли, а также в алгебрах Ли общего вида. Получены также некоторые результаты о максимальных сильных подалгебрах и о тех алгебрах Ли, которые имеют хотя бы одну сильную подалгебру. Ключевые слова: инвариантная метрика на однородном пространстве, внутрен- няя метрика, финслерова метрика, сильная подалгебра. Введение Статья посвящена изучению алгебраических условий, при которых все внутренние метрики на однородном пространстве группы Ли являются финсле- ровыми. Эти условия впервые найдены и проиллюстрированы в нескольких интересных, но весьма частных случаях в статье В. Н. Берестовского [1]. Пусть X — некоторое метрическое пространство с метрикой d = d(x, y). Для произвольной P непрерывной кривой γ : [α, β] → X ее длину |γ| положим равной sup d(xi , xi+1 ), где xi = γ(ti ), а t1 < t2 < · · · < tn — точки отрезка xi ∈γ [α, β]. Если |γ| < ∞, то кривая называется спрямляемой; в дальнейшем мы будем рассматривать только спрямляемые кривые. На метрическом пространстве X можно ввести новую метрику, используя длины кривых: d1 (x, y) = inf |γ|, где {γ} — множество спрямляемых кривых, {γ} соединяющих точки x и y. В дальнейшем у нас X всегда будет гладким много- образием, а в этом случае для гладких метрик на них спрямляемые кривые, со- единяющие любые две заданные точки, всегда существуют. Поэтому получаем метрику d1 , отличную, вообще говоря, от метрики d. Например, если на сфере S 2 ⊂ R3 в качестве d взять метрику, индуцированную евклидовой метрикой на R3 (в этой метрике расстояния измеряются по отрезкам прямых), то метрика d1 совпадает с римановой метрикой на сфере (это метрика, в которой расстояния Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 04–01–00647). c 2008 Горбацевич В. В. 44 В. В. Горбацевич измеряются по дугам больших кругов). Поэтому здесь d1 (x, y) 6= d(x, y) для любых точек x 6= y. Так же d1 6= d будет и для почти любой гиперповерхности S ⊂ Rn+1 , есть и много других примеров такого рода. Определение. Метрика d на метрическом пространстве X называется внутренней, если d1 = d (есть и другие эквивалентные варианты определения, см. [2]).