Читать онлайн «О мультипликативном представлении билинейных операторов»

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2008. Том 49, № 2 УДК 517. 98 О МУЛЬТИПЛИКАТИВНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ БИЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ А. Г. Кусраев, С. Н. Табуев Аннотация. Устанавливается, что решеточный биморфизм, действующий из де- картова произведения векторных решеток в расширенное пространство Канторо- вича, представим в виде произведения двух решеточных гомоморфизмов, опреде- ленных на решетках-сомножителях. Этот факт позволяет свести рассматриваемую задачу к линейному случаю и получить результаты о представлении билинейных порядково ограниченных операторов, сохраняющих дизъюнктность, в виде силь- но дизъюнктной суммы операторов взвешенного сдвига или мультипликативных операторов. Ключевые слова: порядково ограниченный билинейный оператор, решеточный биморфизм, оператор взвешенного сдвига, мультипликативное представление. § 1. Введение В последние годы значительный интерес уделяется билинейным операто- рам в векторных решетках. Это связано, в частности, с исследованием реше- точно упорядоченных алгебр [1–4], гильбертовых решеток [5], а также разных структурных свойств билинейных операторов [6–9]. Введены и изучены новые конструкции, связанные с порядковыми свойствами билинейных операторов, получен ряд интересных результатов для этого класса операторов [10–16]. Настоящая работа продолжает [11] и посвящена аналитическому представ- лению билинейных операторов, сохраняющих дизъюнктность. Устанавливает- ся, что решеточный биморфизм, действующий из декартова произведения век- торных решеток в расширенное пространство Канторовича, представим в виде произведения двух решеточных гомоморфизмов, определенных на решетках- сомножителях (теорема 3. 2). Этот факт позволяет распространить результаты А. Е. Гутмана о представлении линейных порядково ограниченных операторов, сохраняющих дизъюнктность, в виде сильно дизъюнктной суммы операторов взвешенного сдвига или мультипликативных операторов (см. [17–19]), на били- нейные операторы (теоремы 4. 6 и 4. 8). Частный случай операторов, действую- щих в пространствах непрерывных функций на компакте, изучался в работе [6]. Следует отметить, что исследование мультипликативного представления опера- торов, сохраняющих дизъюнктность, инициировано работой Ю. А. Абрамовича [20]. Дальнейшее развитие и исторический комментарий см. в [18, 19]. Необходимые сведения имеются в книгах [18, 21, 22]. Все рассматриваемые ниже векторные решетки считаются вещественными и архимедовыми. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 06–01–00622). c 2008 Кусраев А. Г. , Табуев С. Н. 358 А. Г. Кусраев, С. Н. Табуев § 2. Предварительные сведения В этом параграфе фиксируем терминологию и обозначения и формулируем несколько нужных для дальнейшего результатов. 2. 1. Пусть E, F и G — векторные решетки.