Читать онлайн «Обобщенные функции расстояния римановых многообразий и движения гироскопических систем»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2008. Том 49, № 1 УДК 514. 76+515. 165. 7 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ РАССТОЯНИЯ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ И ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ Ю. В. Ершов, Е. И. Яковлев Аннотация. С помощью групп гомологий пространств путей на произвольном ри- мановом многообразии определяются аналоги функции расстояния, исследуются их основные свойства. Для натуральных систем с гироскопическими силами доказыва- ется теорема существования решений двухточечной краевой задачи, дополняющая результаты работы [1]. Используется метод геодезического моделирования [1, 2] с применением обобщенных функций расстояния. Ключевые слова: риманово многообразие, пространство путей, обобщенная функ- ция расстояния, гироскопическая система, многозначный функционал, экстремаль. 1. Введение Пусть (B, h) — риманово многообразие, F и u — замкнутая 2-форма и глад- кая функция на B соответственно. Четверку € = (B, h, F, u) принято называть натуральной механической системой с гироскопическими силами или, короче, гироскопической системой. При этом B — конфигурационное многообразие си- стемы, h/2 — форма кинетической энергии, F — форма гироскопических сил, u — потенциальная энергия. Если интеграл от формы F хотя бы по одному дву- мерному сфероиду многообразия B отличен от нуля, то функционал действия S системы € многозначен. Как известно, в задаче с закрепленными концами для многозначного функ- ционала S стандартные методы и результаты вариационного исчисления непри- менимы [3]. Поэтому для ее изучения потребовалась разработка новых подхо- дов. На этом пути было показано, что с каждой гироскопической системой € ассоциирован ряд конструкций топологического и геометрического харак- тера, включающий расслоения над конфигурационным многообразием B, G- связности, римановы метрики g, слоения и их связности Эресмана на тотальных пространствах E. Перечисленные объекты определены неоднозначно. Тем не менее их свойства характеризуют соответствующую гироскопическую систему, а сами они позволяют осуществить редукцию исходной проблемы к задачам с фиксированным началом и, вообще говоря, подвижным концом для функцио- нала длины риманова многообразия (E, g) [1, 2]. С помощью указанной редукции, в частности, удалось получить условия на систему € , точки a и b многообразия B и гомотопический класс D соединяющих a и b путей, при выполнении которых существует семейство принадлежащих D Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 06–01–00331–а). c 2008 Ершов Ю. В. , Яковлев Е. И. 88 Ю. В. Ершов, Е. И. Яковлев экстремалей, зависящих от параметра e, принимающего√ почти любое наперед заданное значение из интервала J0 = (α0 , β0 ), где 2α0 — точная нижняя грань длин путей из D.