Читать онлайн «Теория пределов. Дифференциальное исчисление функции одной независимой переменной. Исследование функций. Элементы теории с примерами и вариантами расчетно-графических работ методические указания для студ. 1 курса заочного отделения всех специальностей Ун»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАМИ) Кафедра математического анализа ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ С ПРИМЕРАМИ И ВАРИАНТАМИ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ Методические указания для студентов I курса заочного отделения всех специальностей Москва 2014 1 Составители: С. К. Быстриков В. А. Кадымов Работа подготовлена в авторской редакции с сохранением орфографии и пунктуации © Университет машиностроения, 2014 2  Содержание 1. Предел функции, односторонние пределы……………… 4 2. Производная функции, ее физический и геометрический смысл. Дифференциал функции……………………………. . 16 3. Исследование поведения функций: возрастание и убы- вание функций. Экстремумы функций. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке………………… 26 4. Рекомендуемые задачи. Разбор варианта расчетно- графической работы…………………………………………. 35 5. Варианты расчетно-графических работ для самостоя- тельного решения …………………………………………… 40 6. Список рекомендуемой литературы……………………... 52 3 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ, ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ Определение 1. Число b называется пределом функции y  f ( x) в точке x  x0 (или пределом f ( x) при x  x0 ), если: 1) функция y  f ( x) определена в некоторой окрестности точки x  x0 , кроме, быть может, самой этой точки; 2) для любого, сколь угодно малого, числа   0 существует такое, зависящее от  , число    ( )  0 , что для всех x , удовлетворяющих условиям 0  x  x0   , выполняется неравенство f ( x )  b   или, что в силу свойств модуля, то же самое, для всех x , удовлетворяющих условиям x0    x  x0   , x  x0 выполняется неравенство: b    f ( x)  b   . При этом используется обозначение: lim f ( x)  b или f ( x)  b при x  x0 . (1. 1) x x0 Факту существования предела функции (1. 1) можно дать следующую графическую интерпретацию. Какой бы малой ни была   окрестность точки b на оси ординат, всегда найдётся такая   окрестность точки x0 на оси абсцисс, что для всех x , попавших в нее (за исключением, быть может, самой точки x0 ) точки M ( x, y ) графика функции y  f ( x) лежат внутри полосы шириной 2 , ограниченной прямыми y  b   и y  b   (рис. 1). y y  f (x) b M ( x, y) b b  x 0 x0   x0 x0   Рис. 1 4  Чем меньше ширина этой полосы, тем, вообще говоря, уже следует брать интервал ( x0   , x0   ) .