Читать онлайн «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Учебно-методическое пособие для студентов 2 курса»

P3-3i Санкт-Петербургский государственный ушшереитег ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Учебно-методическое пособие для студентов П курса Санкт-Петербург 1999 Утверждено на заседании кафедры высшей математики и математической Составители: А. С. Благовещенский, Е. Е. Лемехов, В. Л. Олейник, А. Н. Попов, Н. В. Смородина Рецензент: доцент М. М. Фаддеев if (£>6W- физики Лицензия JU' «HMOOSOoi 15. 08. 96. Подписано и нечап, с оригинала, макет 1U. U6. 99. Ф-т 60x84/16. Печать офсетная. Усл. аеч. л. 2,09. Уч. -изд. л. 2,06. Тираж 100 экз. Заказ №/£'/ РОЛИ Издательства С. Петербургского униисрсиилн. 191)034, С. -Петербург, Университетская наб. , 7/9. ЦОП СПбГУ. 199034, С. -Петербург, наб. Макарова, 6. Санкт-Петербургский государственный университет Теория вероятностей Учебно-методическое пособие для студентов II курса 1. Вероятностные пространства Математические модели случайных явлений, рассматриваемых в теории вероятностей, основываются на понятии вероятностного пространства, т. е. тройки (£2,3, Р), где £} = {ш} непустое множество, элементы ш которого интерпретируются как взаимно исключающие исходы изучаемого случайного явления (пространство элементарных событий); 7 набор подмножеств множества О, называемых событиями (предполагается,что множество 7 содержит И и замкнуто относительно взятия противоположного события и суммы событий в не более чем счетном числе, т. е. 7 является <т- алгеброй ); вероятность Р функция, определенная на событиях Аб?и удовлетворяющая некоторым условиям. Далее мы дадим более подробные определения и покажем на примерах, как проводится формализация реальной задачи. 1. 1. Пространство элементарных событий Произвольное множество Q назовем пространством элементарных событий. Элементы множества О, будем называть элементарными событиями. В реальном опыте элементарным событиям соответствуют вза- имо исключающие исходы. Ввиду большого разнообразия случайных явлений нельзя дать более конкретного определения множества элементарных событий. Для описания каждой реальной задачи множество П выбирается наиболее подходящим образом. Рассмотрим ряд примеров, поясняющих выбор множества fi. Пример 1. При однократном подбрасывании монеты простран- Typeset by Ам$-Т№ CTtiO ИСХОДОВ А={Г,Р}, где Г - "герб", Р "решетка,". Пример 2. При п-кратном подбрасывании монеты пространство элементарных событий £1 = {ui : ы — (aL, . . , а„), а, 6 {Г, Р}} л общее число исходов равно 2" Пример 3. Условимся бросать монету до тех пор, пока не ны падет герб. Тогда элементарными событиями будут: u>i — Г, lo-2 = РГ, wg = . РРГ, ^4 = РРРР и т. д. Мы можем допускать или не допускать возможности того, что герб никогда не выпадет. Если это допускается, то соответствующая возможность должна представляться специальной точкой ui0. 1. 2. Алгебра событий В реальном опыте кроме взаимо исключающих исходов можно указать много других случайных событий. В примере 2 перечислены элементарные исходы для п бросаний монеты. В этом же. опыте можно говорить, например, о случайном событии, состоящем в том, что герб выпал только один раз. Этому событию соответствует п элементарных событий (герб выпал при первом бросании, при втором и т. д. ).