Читать онлайн «Высшая математика (часть 2). Конспект лекций. II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

I. ДИФ Ф ЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ф УНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1. Определение произв одной Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x. Дадим аргументу x приращение Dx. Тогда функция получит приращение Dy = f ( x + Dx) - f ( x) . Определение. Производной от ф ункции f в т очке x называет ся предел от ношения ее приращения Dy в эт ой т очке к соот вет ст вующему приращению аргумент а Dx, когда последнее ст ремит ся к нулю: Dy f ( x + Dx) - f ( x) f ¢( x) = lim = lim (1. 1. 1) D x® 0 Dx Dx® 0 Dx Для обозначения производной употребляются различные символы: f ¢( x ), f ¢ (Лагранж) df ( x ) dy (Лейбниц) , dx dx Df ( x ), Dy . (Коши) Замечание 1. Когда говорят, что в точке x существует производная f ¢( x) , то обычно имеют в виду, что существует конечный предел (1. 1. 1). Однако, может случиться, что существует бесконечный предел (1. 1. 1). В этом случае полезно говорить, что функция f имеет в точке x бесконечную производную. Замечание 2. Производная f ¢( x) при данном значении x=x0, если она существует, есть определенное число. Если же производная f ¢( x) существует, при каждом x из некоторого открытого множества X, то она является функцией от x на множестве X. Пример 1. Найти производную f ¢( x) функции y = x 3 . Подсчитать значения f ¢ (1) , f ¢( 0) . Решение. По определению имеем f ( x + Dx) - f ( x) ( x + Dx) 3 - x 3 f ¢( x) = lim = lim = D x® 0 Dx D x® 0 Dx 3 2 2 3 3 x + 3 x ( Dx) + 3 x × ( Dx) + ( Dx) - x = lim = lim ( 3 x 2 + 3x( Dx) + ( Dx) 2 ) = 3x 2 . Dx® 0 Dx Dx® 0 2 2 Тогда: f ¢(1) = 3 × 1 = 3 ; f ¢( 0) = 3 × 0 = 0 . Функции f(x) и f ¢( x) указаны на рис. 1. 1. 1. Замечание 3. Если в точке x существует производная f ¢( x) , то функция f(x) непрерывна в этой точке. В самом деле: пусть существует предел Dy f ¢( x) = lim . D x® 0 Dx Dy Тогда разность между функцией и ее предельным значением Dx f ¢( x) есть бесконечно малая величина Dy - f ¢( x) = a ( x, Dx) ¾D¾® 0® 0 . x¾ Dx Тогда Dy Рис. 1. 1. 1 = f ¢( x) + a ( x, Dx) Dx Dy = f ¢( x) Dx + a ( x, Dx) Dx . (1. 1. 2) Отсюда получаем lim Dy = 0 .