Читать онлайн «Симпликтические структуры и когомологии на некоторых солвмногообразиях»

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2003. Том 44, № 2 УДК 519. 46 СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ И КОГОМОЛОГИИ НА НЕКОТОРЫХ СОЛВМНОГООБРАЗИЯХ В. В. Горбацевич Аннотация: Рассматриваются вопросы существования симплектических и кэле- ровых структур на компактных однородных пространствах треугольных разреши- мых групп Ли. Цель работы — прояснение ситуации с построением примеров в этой области. Доказано, что невозможно довести до конца построение примеров, рас- смотренных в известной работе Бенсона и Гордон о строении компактных солвмно- гообразий, имеющих кэлерову структуру. Это сделано с помощью доказательства отсутствия решеток (и тем самым — компактной формы) в группах Ли из ука- занной работы. Построен новый (аналогичный) пример, для которого в отличие от примеров в указанной работе компактная форма существует. Рассмотрен один класс разрешимых групп Ли — почти абелевых — и для него получена характери- зация тех групп Ли, для которых когомологии их компактных солвмногообразий изоморфны когомологиям соответствующих алгебр Ли. До сих пор такой изомор- физм был известен только для одного конкретного класса групп Ли — треугольных. Приведены примеры новых (почти абелевых) групп Ли с таким изоморфизмом. Ключевые слова: симплектическая структура, решетка, солвмногообразие, ко- гомологии Пусть M — некоторое гладкое многообразие. Симплектическая структу- ра на M задается замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой ω. Пара (M, ω) называется симплектическим многообразием. В последние деся- тилетия наблюдается постоянный рост интереса к изучению симплектических многообразий, особенно компактных. Это вызвано, в частности, связями та- ких многообразий с многими проблемами физики, а также чисто внутренними математическими проблемами (например, изучением кэлеровых многообразий, так как любое кэлерово многообразие имеет естественную симплектическую структуру). При этом постоянно имеется потребность в построении примеров и контрпримеров к разнообразным утверждениям относительно симплектических многообразий. Такого рода примеры строятся, в основном, двумя способами. С одной стороны, за основу берутся компактные односвязные (или почти од- носвязные, т. е. имеющие конечную фундаментальную группу) многообразия, такими являются орбиты коприсоединенного представления компактных групп Ли (на этих орбитах, как известно, всегда имеется естественная симплектиче- ская структура). Однако явное построение и исследование таких многообразий Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 01–01–00709). c 2003 Горбацевич В. В. Симплектические структуры и когомологии 323 за пределами стандартного набора классических однородных пространств ком- пактных групп Ли довольно трудоемко.