Читать онлайн «Краткий курс комплексного анализа»

С. М. Натанзон, Ю. М. Бурман, С. А. Локтев КРАТКИЙ КУРС КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА МЦНМО, 2000 Оглавление 1. Комплексное дифференцирование 4 2. Голоморфные функции 6 3. Комплексное интегрирование 7 4. Теорема Коши 8 5. Первообразная 9 6. Интегральная формула Коши 11 7. Разложение в ряд Тейлора 11 8. Критерий голоморфности 13 9. Теорема Вейерштрасса 13 10. Функции голоморфные в кольце. Ряды Лорана 14 11. Изолированные особые точки 15 12. Вычеты. Интегралы в смысле главного значения 16 13. Принцип аргумента 17 14. Топологические свойства мероморфных функций 19 15. Непрерывные функционалы на компактных семействах функций 19 16. Теорема Гурвица и однолистные функции 21 17. Аналитическое продолжение 21 18. Теорема Римана 22 19. Автоморфизмы односвязных областей 22 20. Римановы поверхности. Униформизация 23 21. Фуксовы группы 24 22. Пространство модулей комплексных торов 25 23. Аналитические функции 25 Практические занятия 27 3 1. Комплексное дифференцирование 1. 1. Функция комплексного переменного Комплекснозначную функцию комплексного переменного можно рассматривать по-разному: 1) Как отображение области комплексной плоскости D С {z = x + iy} в комплексную плоскость С = {w = и + iv} (обозначение С D D -> С, w = f(z)). 2) Как отображение области вещественной плоскости D С {(х,у)} в комплексную плоскость С = {w = и + iv} (обозначение R2 э D -> С, w = /(х, у)). 3) Как отображение области вещественной плоскости D С {(х,у)} в вещественную плоскость R2 = {(u,v)} (обозначение R2 D D -> R2, {u,v) = f{x,y), и = и(х,у), v = v{x,y)). Здесь и далее под областью понимается открытое подмножество плоскости. 1. 2. Комплексная производная Определение. Пусть / — такое отображение области комплексной плоскости z0 € D С С в /// ч т /(so + As) - /(so) rp комплексную плоскость, что предел J {zq) = hm — —^ — существует и конечен. Тогда Az->0 Az говорят, что f'(zo) есть комплексная производная / в точке zq. Очевидно, что в этом случае отображение / непрерывно в точке zq = (хо, t/o) (как отображение R2 D D -> М2). Кроме того, ГЫ = lim /(* + **)-/(*) = tz(x0 + Ах,2/о) + iv(x0 + Ax, t/0) - (и(х0, Уо) + w(*0i 2/о)) = hm = Дх->0 Ах и(х0 + Ах,уо)-и(х0,уо) , . r v(x0 +Ах,уо)-у(х0,уо) ди dv = hm 1-г lim = -—Ьг —• Ах-)-0 Ах Дх-Ю Ах ОХ ОХ = Um f(z0+iAy)-f(z0) = Ду-ю гАу ,. и(х0, уо + At/) + iv(x0,уо + Ay) - (tz(x0, t/o) + iv(x0,y0)) = hm — = Ay^O lAy ,. u(x0,t/o + Ay) - u(x0,yo) , ,. v(x0,t/o +At/)-v(x0,t/o) . du dv = hm — 1- hm = -г — + -5-. Ay^O lAy Ay->0 Ay Oy Oy Следовательно, — + г— = f'(zo) = -i-fiz + ^o • Таким образом, доказана Лемма 1. 1. Если / имеет комплексную производную в zo, то в этой точке выполнены Условия Коши-Римана (Cauchy-Riemann): — = —; __ = -__. ох ду ох ду 1. 3. Важные обозначения Введем обозначения: д _ 1 ( в dz ~ 2 \дх ' -%)'> д _1(д . д\ dz ~ 2 \дх + гду)' Другими словами, для отображения R2 D D -» R2 df _ d(u + iv) _ du . dv _ 1 (du . du\ 1 . /dv . dv\ _ dz &z dz dz _ 1 (du dv\ 1 . (du dv" 1. /dv . dv + 2l\fa~% df _ d(u + iv) _ du . dv _ 1 /du . du dz dz 2 \dx dy _ 1 /du . dv\ 1 / . du dv\ -2{fa+lfa) + 2\% + fy) Согласно вычислениям из предыдущего раздела, отсюда сразу следует Лемма 1. 2.