Читать онлайн «О следах соболевских функций на границе пика с Гельдеровой особенностью»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2007. Том 48, № 1 УДК 517. 51 О СЛЕДАХ СОБОЛЕВСКИХ ФУНКЦИЙ НА ГРАНИЦЕ ПИКА С ГЁЛЬДЕРОВОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ А. С. Романов Аннотация: Для классов Соболева Wp1 в «нулевом» пике с гёльдеровой особенно- стью в вершине рассматривается вопрос о компактности вложения следов соболев- ских функций в лебеговские классы на границе пика. Ключевые слова: пространства Соболева, теоремы вложения, след. Изучение обобщенных функциональных классов соболевского типа на мет- рических пространствах в последние годы довольно популярно. Одним из таких обобщений являются введенные Хайлашем [1] классы функций, которые далее мы будем называть пространствами Соболева — Хайлаша и обозначать сим- волом HWp1 (X, d, µ), где X — метрическое пространство, d — метрика, а µ — борелевская мера. В данной работе рассматривается модельный пример применения результа- тов, полученных для пространств Соболева — Хайлаша, к изучению некоторых свойств классических пространств Соболева, определенных в евклидовых обла- стях с изолированными гёльдеровыми особенностями на границе. Нас будет интересовать вопрос о компактности вложения следов соболев- ских функций в лебеговские классы на границе «нулевого» пика. Получить полное описание пространства следов в рамках шкалы пространств Соболева — Хайлаша не удается, но можно ожидать, что возникающее на границе про- странство Соболева — Хайлаша окажется близким к пространству следов в том смысле, что оно будет компактно вложено в те же лебеговские классы, что и пространство следов. Предположение о возможности такой близости соответствующих прост- ранств основано на следующих двух соображениях. 1. Для областей G ⊂ Rn c гладкой границей пространство следов функций 1−1/p класса Wp1 (G) совпадает с пространством Бесова Bp (∂G) . При этом [2] для любого ε > 0 1−1/(p−ε) Bp1−1/p (∂G) ⊂ HWp1 (∂G, | ∗ |1−1/p , H n−1 ) ⊂ Bp−ε (∂G), где | ∗ | — евклидова метрика, H n−1 — мера Хаусдорфа на ∂G. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 05–01–00482–a) и Совета по грантам президента РФ и государствен- ной поддержке ведущих научных школ (код проекта НШ–8526. 2006. 1) и Междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН 2006. c 2007 Романов А. С. О следах соболевских функций 177 2. В «нулевых» пиках Gα с гёльдеровыми особенностями в вершине пи- ка при некоторых ограничениях на показатель гёльдеровости α классические пространства Соболева Wp1 (Gα ) и пространства Соболева — Хайлаша HWp1 (Gα , | ∗ |, dx) совпадают [3]. При этом в шкале пространств Соболева — Хайлаша имеется достаточно точная теорема вложения для сужений функций на множества меньшей «размерности» [4].