Читать онлайн «Обратные функциональные неравенства и их приложения к нелинейным эллиптическим краевым задачам»

Сибирский математический журнал Июль—август, 2001. Том 42, № 4 УДК 517. 9 ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К НЕЛИНЕЙНЫМ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ КРАЕВЫМ ЗАДАЧАМ В. С. Климов, А. Н. Павленко Аннотация: Устанавливаются неравенства вида ku; E1 k ≤ V (ku; Ek), где E, E1 — банаховы пространства функций многих переменных, E1 компактно вложено в E, u ∈ M ⊂ E1 , V : R+ → R — возрастающая функция. Основное внимание уделя- ется случаю, когда множество M задается поточечным дифференциальным нера- венством. Приложения посвящены нелинейным эллиптическим краевым задачам, содержащим параметр λ и имеющим две ветви решений uλ (λ ≥ 0), Uλ (λ > 0), первая из которых непрерывна в нуле, а вторая неограниченно растет при λ → 0. Библиогр. 17. В статье устанавливаются неравенства вида ku; E1 k ≤ V (ku; Ek), где E, E1 — банаховы пространства функций многих переменных, E1 компактно вло- жено в E, u ∈ M ⊂ E1 , V : R+ → R+ — возрастающая функция. Основное внимание уделяется случаю, когда множество M задается поточечным диффе- ренциальным неравенством. Приложения посвящены нелинейным эллиптиче- ским краевым задачам, содержащим параметр λ и имеющим две ветви решений uλ (0 ≤ λ < λ0 ), Uλ (0 < λ < λ0 ), первая из которых непрерывна в 0, а вторая неограниченно растет при λ → 0. При любом λ > 0 типичное число реше- ний изучаемых краевых задач четно; специализация этих результатов влечет существование ветви Uλ ненулевых решений. Используются обозначения: Ω — ограниченная область в Rn (n ≥ 2) с гра- ницей ∂Ω, |x| — евклидова норма вектора x, ρ(x) = min{|x − y|, y ∈ ∂Ω} — рас- стояние от x до ∂Ω; Lq,t (Ω) (1 ≤ q < ∞, 0 ≤ t < ∞) — пространство измеримых по Лебегу функций с нормой kv; Lq,t (Ω)k = kρt v; Lq (Ω)k; как обычно, совпа- дающие п. в. функции отождествляются; Mδ (Ω) (0 < δ < 1) — пространство Марцинкевича, определяемое как совокупность измеримых по Лебегу функций v : Ω → R, для которых имеет смысл и конечна норма  Z  kv; Mδ (Ω)k = sup mesδ−1 n ω |v(x)|dx , ω⊂Ω ω mesn ω — n-мерная лебегова мера множества ω; LQ (Ω) — пространство Орли- ча, порождаемое N -функцией Q [1–3]. Для любого натурального числа k через Lkq (Ω) обозначается совокупность функций из Lq (Ω), производные в смысле Со- болева которых до порядка k включительно существуют и принадлежат про- странству Lq (Ω). Норма в Lkq (Ω) определяется равенством X u; Lkq (Ω) = kDα u; Lq (Ω)k. |α|≤k c 2001 Климов В. С. , Павленко А. Н. 782 В. С. Климов, А. Н. Павленко Здесь и далее |α| = α1 + · · · + αn — порядок мультииндекса α = (α1 , . . . , αn ), Dα u = D1α1 . . .