Читать онлайн «Простеи?шие задачи вариационного исчисления : учебно-методическое пособие»

Ю. В. АВЕРБУХ Т. И. СЕРЕЖНИКОВА ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Учебно-методическое пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина Ю. В. Авербух, Т. И. Сережникова ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Рекомендовано методическим советом УрФУ в качестве учебно-методического пособия для студентов, обучающихся по направлениям подготовки: 230401 — Прикладная математика (специалитет), 220300 — Автоматизированные технологии и производства (специалитет), 231300 — Прикладная математика (бакалавриат) Екатеринбург Издательство Уральского университета 2014  УДК 517. 972(075. 8) ББК 22. 161. 8я73 A19 Рецензенты: д-р физ. -мат. наук, проф. Г. А. Тимофеева, зав. кафедрой «Высшая и прикладная математика» УрГУПС; канд. физ. -мат. наук А. А. Усова, науч. сотр. отдела динамических систем ИММ УрО РАН Научный редактор — д-р физ. -мат. наук, проф. А. Н. Сесекин Авербух, Ю. В. A19 Простейшие задачи вариационного исчисления : учеб. -метод. пособие / Ю. В. Авербух, Т. И. Сережникова. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2014. — 44 с. ISBN 978-5-7996-1250-4 В издании введено понятие простейшей задачи вариационного ис- числения. Рассмотрен случай закрепленных концов и случай свобод- ного правого конца. Для обеих задач приведено необходимое условие первого порядка. Для простейшей задачи вариационного исчисления в скалярном случае указано необходимое условие второго порядка. Так- же для этой же задачи в общем случае приведены достаточные усло- вия. Библиогр. : 7 назв. УДК 517. 972(075. 8) ББК 22. 161. 8я73 ISBN 978-5-7996-1250-4 ⃝ c Уральский федеральный университет, 2014 Содержание 1. Введение 4 2. Постановка задачи 4 3. Необходимые условия первого порядка для задачи с закреп- ленными концами 8 4. Интегралы решения уравнения Эйлера–Лагранжа 13 4. 1. Вырожденный случай F = F (t, x) . . . . . . . . . . . . . . . 13 4. 2. F зависит лишь от t и ẋ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4. 3. F не зависит от t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5. Примеры 14 6. Необходимые условия первого порядка в простейшей задаче вариационного исчисления со свободным правым концом 17 7. Необходимые условия второго порядка в задаче с закрепленными концами 20 8. Достаточные условия в задаче с закрепленным правым концом в скалярном случае 28 9.