Читать онлайн «Емкость соотношения в плоском четырехстороннике»

Сибирский математический журнал Июль—август, 2008. Том 49, № 4 УДК 517. 51 ЕМКОСТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ В ПЛОСКОМ ЧЕТЫРЕХСТОРОННИКЕ А. С. Романов Аннотация. Рассматриваются взаимосвязь между p-емкостью пар противополож- ных сторон плоского четырехсторонника и возникающий в результате класс экстре- мальных отображений. Ключевые слова: емкость, модуль, экстремальная функция. В статье устанавливается естественная взаимосвязь между сопряженными емкостями двух конденсаторов, образованных парами противоположных сторон плоского криволинейного четырехсторонника. В общем случае для областей G ⊂ Rn , модифицируя доказательства работы [1], можно получить аналогичный результат, связывающий между собой p-емкость пары компактов F0 , F1 ⊂ G и сопряженный модуль семейства поверхностей, разделяющих F0 и F1 . В данной работе мы не стремимся к полному и скрупулезному исследованию вопроса, на- шей целью является нахождение достаточно простого доказательства, наглядно демонстрирующего внутренние взаимосвязи изучаемых объектов и возможные следствия полученных результатов, хотя, быть может, и не в самой общей си- туации. I. Нелинейная емкость и модуль семейства кривых На плоскости R2 рассмотрим ограниченную односвязную область G c жор- дановой границей € и четыре различные последовательные граничные точки a1 , a2 , a3 , a4 ∈ € . Для определенности будем считать, что нумерация точек со- гласована с положительной ориентацией границы. Область G c отмеченными четырьмя граничными точками будем называть четырехсторонником и обозначать через G? , а замкнутые граничные дуги F0 = €a1 a4 , F1 = €a2 a3 , E0 = €a1 a2 , E1 = €a3 a4 будем называть его сторонами. Для пары противоположных сторон F0 и F1 класс допустимых функций определим условием D(F0 , F1 ) = {u ∈ ACL(G) ∩ C(D ∪ F0 ∪ F1 ) | u|F0 = 0, u|F1 = 1}, а при 1 ≤ p < ∞ соответствующую p-емкость — равенством ZZ capp (F0 , F1 ) = inf |∇u|p dxdy. u∈D(F0 ,F1 ) G Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундамен- тальных исследований (код проекта 08–01–00531–а), Совета по грантам президента РФ и го- сударственной поддержке ведущих научных школ (код проекта НШ–5682. 2008. 1) и Междис- циплинарного интеграционного проекта СО РАН 2006 № 117. c 2008 Романов А. С. Емкостные соотношения в плоском четырехстороннике 887 Нам понадобится еще понятие p-модуля семейства кривых. Пусть € — се- мейство кривых γ ⊂ G. Класс допустимых борелевских метрик определим условием  Z  N (€ ) = ρ ∈ Lp (D) | ρ dl ≥ 1 для всех γ ∈ € , γ а p-модуль семейства € — равенством ZZ modp (€ ) = inf ρp dxdy.