Читать онлайн «Асимптотическая симметризация гамильтоновых систем»

!\мфпл АСИМПТОТИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЗАЦИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ МОСКВА МФТИ 2010 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский физико-технический институт (государственный университет) АСИМПТОТИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЗАЦИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ Учебно-методическое пособие ''&ШШШВ В. Ф. Журавлев, А. Г. Петрш, М. М. Шундеркж МОСКВА МФТИ 2010 УДК 517 Рецензент , КащИда^^[р^§»математических наук Й. Й. Амелькин Асимптотическая симметризация гамильтоновых систем: учебно-методическое пособие / Сост. : В. Ф. Журавлев, А. Г. Петров, М. М. Шундерюк. - М. : МФТИ, 2010. - 56 с. Метод гамильтоновой нормальной формы является самым мощным из имеющихся методов асимптотического интегрирования уравнений динамики. Вместе с тем классический метод нормальной формы редко применяется ввиду своей чрезвычайной сложности и громоздкости. Идея симметризации гамильтонианов позволяет, с одной стороны, расширить область применения гамильтоновой нормальной формы, с другой стороны, упростить трудоемкие вычисления. Овладение этими методами позволит изучать аналитически многие сложные явления в нелинейных динамических системах. Предназначено для студентов, аспирантов и сотрудников МФТИ и других вузов, изучающих аналитическую механику. УДК 517 © ГОУ ВПО «Московский физико-технический институт (государственный университет)», 2010 Содержание Введение . . . *>" ^ 4 § 1. Канонические преобразования 7 1. 1. Определение канонического преобразования ... . 7 1. 2. Производящие функции Якоби 8 1. 3. Производящий гамильтониан и ряды Ли 9 1. 4. Параметрическая производящая функция Пуанкаре 10 § 2. Гамильтонова нормальная форма 13 2. 1. Определение гамильтоновой нормальной формы . . 13 2. 2. Классификация вещественных квадратичных гамильтонианов 15 2. 3. Нормализация квадратичных гамильтонианов в случае действительных либо мнимых корней характеристического полинома . 19 2. 4. Частные случаи нормальной формы 21 2. 5. Нормальные формы для систем с двумя степенями свободы 22 2. 6. Интегрирование уравнений нормальной формы . . 25 § 3. Методы вычислений нормальных форм ... . 27 § 4. Симметризации гамильтониана 30 4. 1. Определение симметризации 30 4. 2. Алгоритм симметризации с помощью производящего гамильтониана 32 4. 3. Алгоритм симметризации с помощью параметрической функции Пуанкаре 39 4. 4. Симметризация произвольных гамильтонианов, представленных в виде степенных разложений . . 47 Заключение 51 Литература v. . ;. 52 3 Введение Гамильтоновы системы. Предметом изучения гамильтоновой механики является система уравнений Гамильтона: . дН . дН 1,1 q=-^—> р = --£—, (!) ар aq где H(t,q, p) - функция Гамильтона, или гамильтониан - произвольная достаточно гладкая функция времени и двух п - мерных векторов q и р, точка над функцией означает дифференцирование по времени: ' = d/dt. Векторы q и р называются сопряженными по отношению друг к другу. Наиболее распространенные в механике гамильтонианы получаются с помощью преобразования Лежандра функции Лагранжа.