Читать онлайн «Курс дифференциальной геометрии»

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ М. Э. КАЗАРЯН КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ (2001—2002) МЦНМО 2002  1 Введение Традиционно считается, что дифференциальная геометрия изучает гладкие мно- гообразия в присутствии дополнительных структур — тензорных полей, римановых метрик, расслоений, связностей, и т. п. , что она является универсальным языком, при помощи которого исследование взаимодействия этих структур сводится к ал- гебраическим манипуляциям над функциями и их производными. Признавая спра- ведливость такого мнения, отметим, что в современной математике все сильнее ощущается как раз обратное влияние геометрии на алгебру. Принципиальное зна- чение геометрии состоит в ее использовании как наглядной модели, мотивировки при манипулировании абстрактными дифференциальными алгебраическими обек- тами. Поясним это на примере понятия касательного вектора ‰ ∈ TxM n . Имеются три эквивалентные его определения: 1) набор чисел (‰1 ; : : : ; ‰n ), привязанных к определенной системе координат и меняющихся при заменах по известным правилам; 2) класс касающихся кривых, выходящих из точки x; 3) дифференцирование, т. е. линейное отображение ‰: C ∞ (M) → R, удовлетворя- ющее правилу Лейбница ‰(fg) = ‰(f)g + f‰(g). Первое есть бюрократическая подмена существа дела инструкцией. Вообще, столь популярные в классической физике и механике неинвариантные определения, i ;:::;i как то набор функций Tj11;:::;jqq , причем(?!) при замене координат они преобразу- ются. . .  способны полностью скрыть геометрическую природу явления. Они при- водят только к путанице и громоздким обозначениям, совершенствование которых помогает лишь в ограниченных пределах. Конечно, без координатных представле- ний полностью обойтись нельзя, однако координаты должны играть только вспо- могательную роль в конкретных вычислениях. Второе определение уже инвариантно, однако оно слишком ограниченно геоме- трическими рамками и плохо приспособлено для нужд алгебры. Например, неяс- но, как складывать векторы. Определение такого типа необходимо для создания в мышлении прочного геометрического образа, связанного с понятием вектора. В этом смысле определение вектора как стрелочки, выходящей из точки x, ничуть не уступает. Наконец, последнее определение, хотя и наименее наглядно, концептуально явля- ется наиболее правильным. Оно легко приспосабливается к кольцам и модулям, очень далеким от колец гладких функций. Последовательное использование геоме- трических образов в современной алгебре (например, при исследовании диофанто- вых уравнений) является одним из наиболее продуктивных методов. Целью настоящего курса служит не только ознакомление с основными поняти- ями дифференциальной геометрии, но и обучение владению каждым из трех язы- ков — инвариантно-алгебраическим, интуитивно-геометрическим и координатно- бюрократическим.