Читать онлайн «Наследственные кольца эндоморфизмов смешанных абелевых групп»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2002. Том 43, № 1 УДК 512. 541 НАСЛЕДСТВЕННЫЕ КОЛЬЦА ЭНДОМОРФИЗМОВ СМЕШАННЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП П. А. Крылов Аннотация: Пусть A — самомалая смешанная абелева sp-группа конечного ранга без кручения, E(A) — ее кольцо эндоморфизмов. Даются условия правой и левой наследственности кольца E(A). Кольцо называется наследственным справа, если каждый его правый идеал проективен. Находится также строение односторонних идеалов кольца E(A). Библиогр. 32. Ассоциативное кольцо с единицей называется наследственным справа, если каждый его правый идеал проективен. Наследственность — довольно важное кольцевое свойство, и естественно исследовать его в роли свойства кольца эн- доморфизмов (с этой тематикой можно познакомиться в [1; 2, гл. 15]). Имеется значительное число публикаций, касающихся абелевых групп без кручения с наследственными кольцами эндоморфизмов [3–9]. Внимание многих специалистов привлекли смешанные абелевы группы, ле- жащие между суммой и произведением своих p-компонент [10–16]. Здесь они называются sp-группами. Смешанная группа содержит одновременно ненуле- вые элементы конечных порядков и элементы бесконечного порядка. Особен- но интенсивно изучается один подкласс sp-групп, обозначенный в настоящей работе через Wf . Эквивалентности и двойственности между определенными категориями смешанных групп и групп без кручения, открытые в [17–19], сви- детельствуют о богатстве класса групп Wf . В данной статье изучаются группы из Wf с наследственными кольцами эндоморфизмов. Рассматриваются также некоторые примыкающие вопросы. В § 1 содержатся определения и ряд свойств групп класса Wf и более ши- рокого класса групп W . Доказывается теорема 1. 3 о строении односторонних идеалов кольца эндоморфизмов группы из Wf . Вспомогательный характер но- сит § 2. Основные результаты § 3 — теоремы 3. 3, 3. 5 о группах из Wf с на- следственными кольцами эндоморфизмов. Важное место занимает пример 3. 6, гарантирующий содержательность рассматриваемой ситуации. Дадим необходимые определения и обозначения: N — множество натураль- ных чисел, Z — кольцо целых чисел, Q — аддитивная группа или поле ра- циональных чисел. Все группы, встречающиеся в статье, абелевы. Буква p обозначает некоторое простое число. Если A — группа, то Ap — p-компонента группы A, т. е. наибольшая подгруппа в A, являющаяся p-группой. Далее, Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 00–01–00876). c 2002 Крылов П. А. Наследственные кольца эндоморфизмов 109 T (A) — периодическаяLчасть группы A, совокупность всех ее элементов конеч- ного порядка, T (A) = Ap . Рангом группы без кручения называется мощность p любой максимальной линейно независимой системы ее элементов. Под рангом без кручения смешанной группы A понимается ранг фактор-группы A/T (A).