Читать онлайн «Элементы теории категорий»

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н. Г. Чернышевского Механико-математический факультет А. В. Ершов Элементы теории категорий Методическое пособие для студентов механико-математического факультета Х^^ХxY^^Y Саратов 2003 Содержание 1 Простейшие категорные конструкции 5 1. 1 Определение и первые примеры категорий 5 1. 2 Сумма и произведение в категории 11 1. 3 Универсальные объекты 16 1. 4 Двойственная категория 19 2 Функторы 20 2. 1 Определение и простейшие примеры функторов 20 2. 2 Эквивалентность категорий 29 2. 3 Представимые функторы 33 2. 4 Группы в категориях 45 2. 5 Сопряженные функторы 54 2 Введение Язык теории категорий используется во многих областях современной математики. Очень точно о его специфике сказано в следующей фразе, взятой из Добавления "Язык категорий" к запискам лекций Ю. И. Манина по алгебраической геометрии [12]: "Язык категорий воплощает "социологический" подход к математическому объекту: группа или пространство рассматривается не как множество с внутренне присущей ему структурой, но как член сообщества себе подобных". Методы теории категорий нашли серьезное применение в алгебраической топологии, алгебраической геометрии, алгебраической Х-теории и даже в теории узлов. Кроме того, язык категорий играет огромную унифицирующую роль в современной математике, выявляя общекатегорную природу многих конструкций в различных областях математики и тем самым демонстрируя ее единство. Можно сказать, что основные понятия и конструкции теории категорий (как например понятия универсального объекта, представимого функтора) заключают в себе общематематические паттерны. Поэтому многие современные математические монографии рассчитаны на читателей, знакомых с основными понятиями теории категорий и владеющих основами "категорного мышления". Это показывает необходимость для будущего математика-профессионала знания основ этой теории. Данное пособие преследует скромную цель научить читателя основам языка теории категорий и на примерах продемонстрировать категорную природу таких хорошо известных конструкций, как тензорное произведение векторных пространств, прямое произведение множеств, поле частных целостного кольца и т. д. Этот подход очень полезен при изучении математики, так как, с одной стороны, приучает к определенной математической культуре (например, давая определение категории не забывать о морфизмах), с другой стороны, облегчает запоминание многих конструкций. Например, все основные свойства тензорного произведения векторных пространств закодированы в том, что это - универсальный объект определенной категории, основные свойства свободного произведения групп - что это - сумма в категории всех групп, основное свойство свободной группы F(X), порожденной множеством X - в том, что функтор X \-^ F{X) является левым сопряженным к функтору забывания групповой структуры и т. д. При подборе большинства примеров автор стремился к тому, чтобы с используемыми в них понятиями было знакомо возможно большее число студентов.