Читать онлайн «Асимптотически нормальное оценивание многомерного параметра в задаче дробно-линейной регрессии»

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2001. Том 42, № 2 УДК 519. 237. 5 АСИМПТОТИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ МНОГОМЕРНОГО ПАРАМЕТРА В ЗАДАЧЕ ДРОБНО–ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ Ю. Ю. Линке, А. И. Cаханенко Аннотация: Рассматривается задача оценивания неизвестного многомерного па- раметра для некоторой задачи так называемой дробно-линейной регрессии. Пред- лагается новый метод, позволяющий достаточно просто находить явные асимптоти- чески нормальные оценки неизвестного параметра без использования метода наи- меньших квадратов. Библиогр. 5. § 1. Постановка задачи Пусть в результате серии из N испытаний, N → ∞, наблюдается последо- вательность случайных величин Z1 , . . . , ZN , относительно которых предпола- гается, что они представимы в виде αi (θ) Zi = gi (θ) + ξi ≡ + ξi , i = 1, . . . , N, (1. 1) βi (θ) где m X m X αi (θ) ≡ a0i + aji θj , βi (θ) ≡ 1 + bji θj (1. 2) j=1 j=1 — линейные функции, зависящие от неизвестного m-мерного параметра θ с ко- ординатами θ1 , . . . , θm , причем числа bji ≥ 0, a0i , aji , i = 1, . . . , N, j = 1, . . . , m, (1. 3) предполагаются известными. Cлучайные величины ξi , i = 1, . . . , N , в (1. 1) — это ненаблюдаемые погрешности измерений. Ниже мы будем налагать ряд огра- ничений на предельное поведение распределений линейных комбинаций этих случайных величин. В настоящей работе рассматривается задача оценивания неизвестного век- тора θ с координатами θj > 0, j = 1, . . . , m, по значениям случайных величин Z1 , . . . , ZN . Авторы предлагают некоторый метод, позволяющий достаточно просто получать асимптотически нормальные оценки неизвестных параметров для модели дробно-линейной регрессии (1. 1)–(1. 3). В отличие от метода наи- меньших квадратов, который традиционно применяют при решении такого рода задач нелинейной регрессии, при реализации предлагаемого метода не нужно Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 99–01–00561) и INTAS (код проекта 98–1625). c 2001 Линке Ю. Ю. , Cаханенко А. И. Асимптотически нормальное оценивание 373 использовать итерационные процедуры, порождающие, в свою очередь, про- блемы выбора начального приближения, сходимости процесса и др. , а также требующие использования вычислительной техники из-за большого числа ите- раций. Основная цель данной работы — описать в общем виде предлагаемый метод построения оценок и схему изучения этих оценок, а также продемонстрировать применение ряда идей, которые могут быть использованы при изучении полу- чаемых оценок.