Читать онлайн «Пример С1-гладкой функции, множество значений градиента которой является дугой, не имеющей касательной ни в одной точке»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2008. Том 49, № 1 УДК 517. 95 ПРИМЕР C 1 –ГЛАДКОЙ ФУНКЦИИ, МНОЖЕСТВО ЗНАЧЕНИЙ ГРАДИЕНТА КОТОРОЙ ЯВЛЯЕТСЯ ДУГОЙ, НЕ ИМЕЮЩЕЙ КАСАТЕЛЬНОЙ НИ В ОДНОЙ ТОЧКЕ М. В. Коробков Аннотация. Построен пример вещественной C 1 -гладкой функции двух перемен- ных, множество значений градиента которой является дугой, не имеющей касатель- ной ни в одной точке. Ключевые слова: C 1 -гладкая функция, множество значений градиента, дуга, ка- сательная. Статья является продолжением цикла работ [1–4]. В особенности мы опи- раемся на работу [3]. Основным результатом настоящей статьи является следу- ющее утверждение. Теорема 1. Существуют непрерывное инъективное отображение γ : R → R2 и C 1 -гладкая функция v : Š → R области Š ⊂ R2 такие, что выполнено равенство ∇v(Š) = γ(R), (1) причем дуга γ(R) не имеет касательной ни в одной точке (в частности, она не спрямляема ни на каком интервале). Всюду в дальнейшем кривой называется непрерывное отображение γ : R 3 u 7→ (γ1 (u), γ2 (u)) ∈ R2 . Если отображение γ : R → R2 непрерывно и инъектив- но, то будем называть его также дугой. Символом ∇v обозначается градиент ∇v = (vx , vt ) функции v = v(x, t). Областью называется открытое связное множество. Символом a · b обозначается скалярное произведение векторов a, b. Некоторые другие обозначения будут вводиться по ходу статьи. Доказательство теоремы 1. Ясно, что достаточно построить требуе- мую дугу γ, заданную не на всем R, а на интервале (0, 1), и чтобы вместо (1) выполнялось равенство ∇v(Š) = γ((0, 1)), (2) а потом, взяв соответствующую перепараметризацию кривой, можно будет счи- тать, что γ определена на всем R и выполнено равенство (1). Мы будем строить требуемую дугу γ по следующей простой схеме. Сначала построим функцию γ1 : (0, 1) → R, которая ведет себя «очень плохо» (в частно- сти, имеет неограниченную вариацию на любом интервале), а также построим Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (грант РФФИ 05–01–00482–а), гранта Фонда содействия отечественной науке для молодых кандидатов и Лаврентьевского гранта (№ 5) для молодых ученых СО РАН. c 2008 Коробков М. В. Пример C 1 -гладкой функции 135 функцию l : (0, 1) → R ограниченной вариации, непрерывную слева в каждой точке из (0, 1). Тогда непрерывную функцию γ2 : (0, 1) → R можно будет по- считать по формуле (3) из [3], которая в рассматриваемом случае эквивалентна формуле (31) настоящей статьи. Вследствие такого определения функции γ2 полученная кривая γ : (0, 1) 3 u 7→ (γ1 (u), γ2 (u)) ∈ R2 будет автоматически обладать свойством (€1 ), а значит, по [3, теорема 1. 1. 4] найдется искомое отоб- ражение v ∈ C 1 (Š) со свойством (2).