Читать онлайн «Метод разделения переменных в задачах о нормальной и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования»

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2000. Том 41, № 2 УДК 515. 164. 13 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В ЗАДАЧАХ О НОРМАЛЬНОЙ И КОМПАКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ОПЕРАТОРА ВНЕШНЕГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В. И. Кузьминов, И. А. Шведов Аннотация: Конструкция разложения L2 -комплекса де Рама в ортогональную сумму подкомплексов используется для отыскания условий нормальной и компакт- ной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на искривленных про- изведениях римановых многообразий и, в частности, на искривленных цилиндрах. Библиогр. 5. В этой работе нас будут интересовать задачи отыскания необходимых и до- статочных условий нормальной и компактной разрешимости оператора внешне- го дифференцирования, действующего в L2 -пространствах дифференциальных форм на искривленных произведениях римановых многообразий. Для произвольного линейного оператора T : A → B, заданного на неко- тором линейном подпространстве Dom T векторного пространства A и при- нимающего значения в векторном пространстве B, условия Dom T −1 = Im T , T −1 ◦ T ⊂ π, где π — каноническая проекция, однозначно определяют оператор T −1 : B → A/ Ker T . Пусть A и B — банаховы пространства и подпространство Ker T замкнуто в A. Тогда оператор T называется нормально разрешимым, если оператор T −1 ограничен, и компактно разрешимым, если оператор T −1 компактен. Замкнутый оператор T нормально разрешим в том и только в том случае, когда подпространство Im T замкнуто в B. Будем считать, что пространство Dom T нормировано нормой kakDom T =
1/2 kakA + kT ak2B 2 . Замкнутый оператор T : A → B компактно разрешим тогда и только тогда, когда оператор π|Dom T : Dom T → A/ Ker T компактен [1]. Пусть M — гладкое риманово многообразие и Lkp (M ) — пространство тех измеримых дифференциальных форм степени k на M , модуль которых интегри- руем в степени p. Оператор внешнего дифференцирования мы будем рассмат- ривать как оператор, действующий из Lkp (M ) в Lk+1 p (M ), указывая его область задания Γk ⊂ Lkp (M ). Если Γk содержит все гладкие финитные формы степени k и оператор внешнего дифференцирования dkΓ : Lkp (M ) → Lk+1 p (M ) с областью задания Γk замкнут, то выбор пространства Γk можно трактовать как выбор «идеальных граничных условий», определяющих область задания оператора dkΓ . Если подпространства Γk заданы для всех k ∈ Z и Im dkΓ ⊂ Ker dk+1Γ для каждо- го k, то определен Lp -комплекс де Рама Lp,Γ (M ), соответствующий граничным Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 97–01–00846). c 2000 Кузьминов В. И. , Шведов И. А. 386 В. И. Кузьминов, И. А. Шведов условиям Γ = {Γk }k∈Z . Компоненты этого комплекса суть пространства Lkp (M ), а дифференциалы — операторы dkΓ .