Читать онлайн «Оценки решения одного дифференциального неравенства»

Сибирский математический журнал Май—июнь, 2006. Том 47, № 3 УДК 517. 958 ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО НЕРАВЕНСТВА В. Г. Романов Аннотация: В области D = Š×(−T, T ) рассматривается дифференциальное нера- венство, в левой части которого содержится линейный гиперболический оператор второго порядка с коэффициентами, зависящими только от x ∈ Rn , n ≥ 2, а в правой — модуль градиента искомой функции. Неравенство дополняется данными Коши на боковой части границы области D, и рассматривается задача о построении оценки решения дифференциального неравенства, удовлетворяющего данным Ко- ши. При условии, что выполнены некоторые соотношения с участием верхней оцен- ки секционных кривизн риманова пространства, ассоциированного с дифференци- альным оператором, риманова диаметра области Š и длины интервала (−T, T ), искомая оценка установлена. Полученный результат обобщается на случай ком- пактных областей, ограниченных сверху и снизу характеристическими поверхно- стями. Ключевые слова: гиперболическое уравнение, некорректная задача Коши, устойчивость. § 1. Введение, основные результаты Обозначим через L линейный дифференциальный оператор, определенный равенством n X Lu ≡ utt − (aij (x) uxi )xj , x = (x1 , . . . , xn ), (x, t) ∈ Rn+1 , (1. 1) i,j=1 в котором коэффициенты aij (x) = aji (x) являются гладкими функциями (см. ниже) и удовлетворяют условию n X n X n X µ0 ξi2 ≤ aij (x) ξi ξj ≤ µ00 ξi2 , 0 < µ0 ≤ µ00 < ∞, (1. 2) i=1 i,j=1 i=1 с некоторыми постоянными µ0 , µ00 . Пусть D = Š × (−T, T ) ⊂ Rn+1 , n ≥ 2, где Š — компактная область с кусочно гладкой границей ∂Š. Боковую грани- цу области D обозначим через S = ∂Š × (−T, T ), единичный вектор внешней нормали к ней — через n. Рассмотрим дифференциальное неравенство
(Lu)2 ≤ C0 F 2 + u2t + |∇u|2 + u2 , (x, t) ∈ D, (1. 3) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 05–01–00171) и программы Рособразования «Университеты России» (проект УР 04. 01. 200). c 2006 Романов В. Г. Оценки решения одного дифференциального неравенства 627 в котором F = F (x, t), ∇ = (∂/∂x1 , . . . , ∂/∂xn ), a C0 — некоторая положитель- ная постоянная. Поставим задачу: пусть функция u(x, t), удовлетворяющая неравенству (1. 3), обладает на S данными Коши ∂u u|S = f (x, t), = g(x, t), (1. 4) ∂n S найти оценку функции u(x, t) внутри D.