Читать онлайн «Асимптотическое представление отношения правдоподобия для нерегулярных семейств распределений в многомерном случае»

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2001. Том 42, № 2 УДК 519. 21 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ ДЛЯ НЕРЕГУЛЯРНЫХ СЕМЕЙСТВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В МНОГОМЕРНОМ СЛУЧАЕ И. С. Борисов, Д. В. Миронов Аннотация: Исследована точность аппроксимации распределения логарифмиче- ского процесса отношения правдоподобия, построенного по параметрическому се- мейству многомерных распределений с разрывными плотностями и многомерным параметром, сверткой обобщенного пуассоновского и вырожденного гауссовского распределений. Библиогр. 15. § 1. Постановка задачи и основной результат Данная работа продолжает исследование авторов [1], посвященное асимп- тотическому анализу логарифмического процесса отношения правдоподобия, построенного по параметрическому семейству разрывных многомерных плот- ностей со скалярным параметром. В настоящей работе основной результат [1] обобщается на случай многомерного параметра. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка, состоящая из независимых случайных век- торов, распределенных в пространстве Rd с общей плотностью f (x, θ) (отно- сительно меры Лебега), зависящей от неизвестного параметра θ ∈ Θ ⊂ Rm . Предположим, что плотность непрерывна по x = (x1 , . . . , xd ) за исключением точек множества Kθ . Предположим также, что Kθ при всех θ ∈ Θ — гладкое многообразие размерности d − 1 и определены такие множества Ω1θ и Ω2θ , кото- рые, во-первых, вместе с Kθ образуют разбиение пространства Rd , а во-вторых, в точках y ∈ Kθ плотность f (x, θ) имеет разрывы 1-го рода по направлениям, задаваемым множествами Ω1θ и Ω2θ : 0 6= q(y, θ) = lim f (x, θ), 0 6= p(y, θ) = lim f (x, θ), x→y|Ω1 x→y|Ω2 θ θ где запись x → y|Ωj означает, что x → y и при этом x ∈ Ωjθ . θ Считая далее истинное значение параметра θ0 фиксированным, введем сле- дующие обозначения: l(x, θ) = ln f (x, θ), θ ∈ Θ, ∆(x, θ) = l(x, θ) − l(x, θ0 ), X Yn (u) = ∆(Xi , θ0 + u/n), θ0 + u/n ∈ Θ, i≤n Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (коды проектов 99–01–00504, 00–01–00802) и фонда INTAS (код проекта 99–01317). c 2001 Борисов И. С. , Миронов Д. В. 276 И. С. Борисов, Д. В. Миронов Eθ — математическое ожидание по распределению с плотностью f (·, θ). Наряду с вышеприведенными считаем выполненными следующие условия. 1. Мы предполагаем, что многообразия Kθ ориентированы. Это означает, что в каждой точке y ∈ Kθ можно восстановить единичный вектор нормали N (y, θ), который как векторнозначная функция непрерывен по θ. Будем счи- тать, что вектор N (y, θ) «обращен» в множество Ω2θ .