Читать онлайн «Многозначные аналитические функции»

Ю. в. Сидоров МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Ю. в. Сидоров. Лекции по теории функций комплексного переменного. Многозначные аналитические функции. Настоягцее учебное пособие предназначено для студентов 3-го курса МФТИ. В нём рассматривается наиболее сложный раздел курса ТФКП — многозначные аналитические функции. Изучение этой темы с номогцью ранее изданных учебных пособий и учебников вызывает у студентов большие трудности. В настоягцем пособии предлагается наиболее простой способ изложения этой темы. Это достигается тем, что рассматривается небольшой по объёму теоретический материал с наглядной иллюстрацией его на простейших примерах многозначных функций. Условные обозначения: О — начало доказательства теоремы или другого утверждения (вместо слова «Доказательство»); ф — конец доказательства (вместо слов «что и требовалось доказать») ; А — начало решения примера (вместо слова «Решение»); ж — конец решения примера. i 1 Определение аналитической функции § 1. Определение аналитической функции 1. Аналитическое продолжение вдоль цепочки областей Рассмотрим некоторые способы аналитического продолжения заданных функций. Определение 1. Пусть функция g{z) определена на множестве £", функция f(z) регулярна в области D^ содержагцей множество Е, и f{z) = g{z) при zeE. A) Тогда функция f(z) называется аналитическим продолэюением функции g{z) с мноэюества Е в область D. Если для заданной функции g{z)^ z ^ Е^ сугцествует ее продолжение в область D D Е^ т. е. регулярная в области D функция /(^), удовлетворяюгцая условию A), то говорят, что "функцию g{z) можно аналитически продолжить в область i?" или "функция g{z) допускает аналитическое продолжение в область i?". Такое аналитическое продолжение может оказаться не единственным, например, если множество Е состоит из конечного числа точек, или если множество Е состоит из бесконечного числа точек, но не имеет предельных точек внутри области D. Из теоремы единственности следует, что: если мноэюество Е состоит из бесконечного числа различных точек и имеет хотя бы одну предельную точку, принадлеэюащую области D D Е, то аналитическое продолэюение с мноэюества Е в область D единственно. Пример 1. Функции e^,sinz,cosz являются единственными аналитическими продолжениями функций соответственно е^, sin ж, cos X с действительной оси во всю комплексную плоскость. А Функция tgz является единственным аналитическим продолжением функции tgx с интервала — ^ < ж < |^ во всю комплексную плоскость с выколотыми точками Z = ^ + тгА;, А; = 0±1,±2,... . 4 Ю. В. Сидоров Многозначные аналитические функции Функция ctgz является единственным аналитическим продолжением функции ctg X с интервала О < ж < тг во всю комплексную плоскость с выколотыми точками z = 7rA;, А; = 0,±1,±2,... . А Рис. 1 Рис. 2 Определение 2. Пусть даны две области Dq и Di такие, что существует область Dqi, принадлеэюащая обеим областям Dq и Di (рис. 1). Пусть функции /о(^), /i(^) регулярны в областях Dq^Di соответственно, и эти функции совпадают в области Dqi^ т. е. /i(z) = /o(z), zeDoi.