Читать онлайн «Метод Ляпунова-Арнольда в гидродинамической теории устойчивости»

Sl^ В. А. Калягин Ю. А. Степаняни, Нижний Новгород 1995 Издано по решению Редакцнонно-издательского совета Института прикладной физики РАН УДК 551. 465; 551. 513; 532. 51; 533. 951 Калягин В. Α. , Стеланянц Ю. А. Метод Ляпунова - Арнольда · гидродинамической' теории устойчивости / ИПФ РАН. Н. Новгород, 1995. 68 с. Представлен обзор результатов, полученных в нелинейной теории гидродинамической устойчивости после основополагающих работ В. И. Арнольда (1965). В существующем виде метод Арнольда, восходящий к идеям А. М. Ляпунова, применим к невнэким потокам жидкости и плазмы, дли которых удается получить набор интегральных инвариантов, выражающих законы сохранении энергии, энстрофии, спнраль- ностн н других физических величин. Эти интегральные инварианты необходимы дли построения функции Ляпунова, с помощью которой можно в дальнейшем судить об устойчивости того или иного течения. Описаны приложении метода Липунова - Арнольда ко многим задачам гидродинамики однородной н стратифицированной жидкости на плоскости и в пространстве, при учете вращении и т. д. Указано на тонкие различия между истинной нелинейной устойчивостью, а также формальной н условной устойчивостью. Отмечается, что в ряде работ из-за неаккуратного обращения с функцией Ляпунова в бесконечномерном функциональном пространстве сделаны необоснованные (а в некоторых случаях н просто неверные) выводы об устойчивости течении. Книга предназначена дли специалистов в области гидродинамической теории устойчивости, аспирантов и студентов соответствующих специальностей. Рецензенты кандидат физнко-математичесхях наук В. А. ГОРДИН, кандидат физико-математических наук А. Д. ЮНАКОВСКИЙ Ответственны! редактор Ю. А. СТЕПАНЯНЦ ISBN 5-201-09289-6 © Институт прикладной физики РАН. 1995 г. Глава 1 ВВЕДЕНИЕ. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА В ГИДРОДИНАМИКЕ Исследование нелинейных задач теории гидродинамической устойчивости идеальной жидкости основано на использовании фундаментальных работ В. И. Арнольда [1—3], которые тесно связаны со вторым методом Ляпунова, обычно применяемым для анализа устойчивости решения конечномерных динамических систем. Для дальнейшего изложения приведем вкратце основные сведения из теории устойчивости Ляпунова. Пусть динамическая система описывается следующим эволюционным уравнением: Обозначим через и, стационарное решение уравнения (1. 1), при этом F (ue) - 0. Здесь и предполагается элементом некоторого метрического пространства, в котором имеет смысл операция дифференцирования, F (и) — непрерывный, вообще говоря, нелинейный, функционал в этом пространстве. В соответствии с методом Ляпунова вопрос об устойчивости стационарного решения и, при малых возмущениях начального условия и (0) = и, + δ и (0) сводится к построению функции V (и) (функции Ляпунова), обладающей следующими свойствами: 1) V(и) имеет строгий минимум (максимум) в точке ие, 2) производная функции V вдоль траектории решения и (0 неположительна (неотрицательна): В конечномерном случае, когда указанная функция существу- 3 ет, стационарное решение и, оказывается устойчивым в смысле Ляпунова: Для любого ε > О существует число δ > 0 такое, что из неравенства \\ и (0) - ие || < δ β начальный момент времени / = 0 следует неравенство ||u (t) - ие\\< ε в любой момент времени t для функции и (0 — решения уравнения (1. 1).