Читать онлайн «Формализмы нестандартного анализа»

ФОРМАЛИЗМЫ НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗA  МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Новосибирский государственный университет С. С. КУТАТЕЛАДЗЕ ФОРМАЛИЗМЫ НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА Учебное пособие Новосибирск 1999  3 УДК 517. 11+517. 98 ББК 22. 16 Кутателадзе С. С. Формализмы нестандартного анализа: Учеб. пособие. — Новосибирск: Новосибирск. ун-т, 1999. — 51 с. Излагаются сведения, связанные с теоретико-множественным обос- нованием нестандартного анализа, подобранные с учетом особенностей обязательного специального курса, читаемого в Новосибирском госу- дарственном университете для студентов 3–4 курсов механико-матема- тического факультета.  c Новосибирский государственный университет, 1999  Формализмы нестандартного анализа Нестандартный анализ получил обоснование в рамках теоретико- множественной установки. Точнее говоря, известные с глубокой древ- ности представления и методы, основанные на использовании актуаль- ных бесконечно больших и бесконечно малых величин поставлены на те же (и значит, столь же прочные) основы, на которых покоится кан- торовская теория множеств или, что более строго, «приближающие ее снизу» аксиоматические теории множеств. Для того чтобы яснее осознать связи математического анализа и теории множеств, стоит сопоставить следующие высказывания: «... анализ... есть сама наука о бесконечном» Г. В. Лейбниц «Лейбниц — основатель математики бесконечного» Ф. Энгельс «... математический анализ является просто наукой о бесконечном. Это старое его определение идет через века... » Н. Н. Лузин «МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ, раздел математики, в котором изуча- ются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных» Большой энциклопедический словарь Следовательно, самим понятием «бесконечность» анализ связан с тео- рией множеств. В то же время никогда не нужно забывать, что клас- сические работы Г. Кантора появились спустя двести лет после откры- тия математического анализа. Подведение теоретико-множественного обоснования под математику можно сравнить с используемым в со- временном строительстве методом монтажа зданий, начиная с верхних этажей «от чердака к подвалу». Интересно при этом подметить, что  5 фундамент здания закладывается заранее. Ровно так же исходный фундамент математического анализа заложен практической деятель- ностью людей. Нынешняя математика в своей существеннейшей части опирает- ся на теорию множеств. Более точно, под основные этажи современ- ной математики подведена теоретико-множественная база. Что дальше — это покажет будущее. А сейчас мы можем только констатировать продолжение процесса построения математического здания — процес- са, готовящего грядущие перемены.