Читать онлайн «Краткий курс математики»

В. М. Тихомиров КРАТКИЙ КУРС МАТЕМАТИКИ Москва, 2007  В цикле из двух лекций я задумал рассказать о самом важном из того, чему меня учили в школе и на первых двух курсах университета. Мне (по многим причинам) очень существенно знать ваше мнение о том, в какой мере мне это удастся. В этом конспекте изложение разбито на три главы, названия ко- торых соответствует курсам, которые мне читали в первые два года студенчества: линейная алгебра, аналитическая геометрия, математи- ческий анализ и дифференциальные уравнения (последние два раздела я объединяю в одной третьей главе). При этом мне хотелось бы пока- зать, что математика — единая наука, и все темы и разделы перепле- тены и взаимосвязаны. Размеры текста таковы, чтобы, кое-что сокра- тив, сделать попытку рассказать обо всем за время, предоставляемое в Дубне для двух лекций. В каждой главе делается всего три шага — от одного к двум, затем к произвольному (натуральному) числу, и в конце — к бесконечности. Первые два параграфа посвящены матема- тике, с которой я знакомился в школе и на кружках, изучая функции одного переменного и плоские фигуры, третий посвящен, в основном, институтской математике, где рассматриваются уравнения со многими переменными, и некоторые трехмерные фигуры, четвертый — матема- тике университетской, где число переменных бывает и бесконечным. И всюду мы будем двигаться от самых истоков к тому, что было осознано в конце девятнадцатого и в первой половине двадцатого века. Постара- юсь изложить доказательства важнейших результатов. Данная краткая брошюра представляет собой нечто вроде “книги для чтения”, и читатель может в каждой главе, начав с того, что он заведомо знает, продвигаться дальше и дальше к финалу, имея , разу- меется, возможность в любой момент “с достоинством выйти из игры” (как изящно сказал как-то по сходному поводу мой старинный приятель Роберт Адольфович Минлос). Готовясь к этим лекциям, я советовался со своими друзьями и кол- легами. Хочу выразить всем им свою благодарность. Особую призна- тельность мне хотелось бы высказать М. Л. Гольдману, Г. Г. Магарил- Ильяеву, М. А. Мейснер, К. Ю. Осипенко и Е. О. Сивковой, дружеская критика которых была для меня весьма значимой. Надеюсь на критику и диалог с моими слушателями и читателями. 2  Содержание 1. Методы решения линейных уравнений (метод Гаусса, альтернати- ва Фредгольма, теорема Кронекера-Капелли, формулы Крамера). 2. Геометрическая интерпратация теории линейных уравнений, кри- вые и поверхности второго порядка и классификация квадрик. 3. Дифференциальное и интегральное исчисление одного и многих переменных и методы решения нелинейных, в частности, дифференци- альных, уравнений. Дополнение: числа, векторные пространства, общая топология. 3  Глава 1. Линейная алгебра (теория линейных уравнений) Алгебра (от арабского слова aldb z abr (ал-джебр))1 — часть математики, развившаяся в связи с потребностью решать уравнения.