Читать онлайн «О Ker-Coker последовательности в полуабелевой категории»

Сибирский математический журнал Май—июнь, 2000. Том 41, № 3 УДК 512. 66 О Ker–Coker–ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В ПОЛУАБЕЛЕВОЙ КАТЕГОРИИ Я. А. Копылов, В. И. Кузьминов Аннотация: Изучается Ker-Coker-последовательность ε ζ δ τ θ Ker α → Ker β → Ker γ → Coker α → Coker β → Coker γ, (∗) связанная с коммутативной диаграммой 0 ϕ 0 ψ A0 −−−−−→ B0 −−−−−→ C0 −−−−−→ 0    αy γy   βy  1 ϕ 1 ψ 0 −−−−−→ A1 −−−−−→ B1 −−−−−→ C1 , удовлетворяющей условиям ψ0 = coker ϕ0 , ϕ1 = ker ψ1 , в произвольной полуабе- левой категории. Исследовано, как влияет предположение о строгости одного из морфизмов α, β или γ на точность последовательности (∗) и строгость образующих ее морфизмов. Библиогр. 7. Д. А. Райков в [1] ввел класс полуабелевых категорий, содержащий кроме всех абелевых категорий многие категории функционального анализа и топо- логической алгебры. Категории абелевых топологических групп, векторных топологических пространств, банаховых пространств, градуированных моду- лей над градуированным кольцом, абелевых групп без кручения — типичные примеры полуабелевых категорий. Существенное отличие полуабелевых кате- горий от абелевых заключается в том, что стандартные леммы о диаграммах, справедливые в абелевых категориях, в полуабелевых категориях выполняются при дополнительных предположениях о морфизмах, образующих диаграмму, которые обычно сводятся к требованию строгости этих морфизмов. В полуабелевой категории коммутативной диаграмме ϕ0 ψ0 0 −−−−→ A0 −−−−→ B0 −−−−→ C0 −−−−→ 0     αy  βy γy  (1) ϕ1 ψ1 0 −−−−→ A1 −−−−→ B1 −−−−→ C1 −−−−→ 0, в которой все морфизмы строгие, а строки точны, соответствует точная Ker- Coker-последовательность ε ζ δ τ θ 0− → Ker α − → Ker β − → Ker γ − → Coker α − → Coker β − → Coker γ − → 0, (2) Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 97–01–00846) и ассоциации INTAS (грант 96–0712).